Интеграл Зиверта
Интеграл Зиверта (интегральный секанс) — специальная функция, возникающая в задачах о распространении излучения от протяжённого источника. Назван по имени шведского физика Рольфа Зиверта, который ввёл его в 1921 году. Она представляет собой неберущийся интеграл:
F ( θ , x ) = ∫ 0 θ e − x ⋅ sec φ d φ {displaystyle F( heta ,x)=int _{0}^{ heta }{e^{-xcdot sec varphi }},d{varphi }}Полный интеграл Зиверта связан с интегралом функций Бесселя Ki {displaystyle operatorname {Ki} } :
F ( π 2 , x ) = Ki 1 ( x ) = ∫ x ∞ K 0 ( t ) d t {displaystyle Fleft({frac {pi }{2}},x ight)=operatorname {Ki} _{1}(x)=int _{x}^{infty }K_{0}(t),dt}где K 0 ( x ) {displaystyle K_{0}(x)} — функция Макдональда.
Существует два обобщения интеграла Зиверта:
F a ( θ , x ) = x a ∫ 0 θ e − x ⋅ sec φ ⋅ sec a φ d φ {displaystyle F_{a}( heta ,x)=x^{a}int _{0}^{ heta }{e^{-xcdot sec varphi }}cdot sec ^{a}{varphi },d{varphi }} F a ( θ , x , y ) = x a ∫ 0 θ e − x ⋅ sec φ ⋅ ( sec φ ) a ⋅ ( tg φ ) 2 y − 1 d φ {displaystyle F_{a}( heta ,x,y)=x^{a}int _{0}^{ heta }{e^{-xcdot sec varphi }}cdot (sec varphi )^{a}cdot (operatorname {tg} varphi )^{2y-1},d{varphi }}где a ⩾ 0 , x > 0 , 0 < θ ⩽ π 2 {displaystyle ageqslant 0,x>0,0< heta leqslant {frac {pi }{2}}}