Инвариантная мера

Инвариантная мера — в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической системы в фазовом пространстве. Понятие инвариантной меры применяется при усреднении уравнений движения, в теории показателей Ляпунова, в теории метрической энтропии и вероятностных фрактальных размерностей.

Определение

В теории динамических систем, мера μ {displaystyle mu } на пространстве ( X , Σ ) {displaystyle (X,Sigma )} называется инвариантной для измеримого отображения f : ( X , Σ ) → ( X , Σ ) {displaystyle f:(X,Sigma ) o (X,Sigma )} , если она совпадает со своим образом f ∗ μ {displaystyle f_{*}mu } . В силу определения, это означает, что

∀ A ∈ Σ μ ( A ) = μ ( f − 1 ( A ) ) . ( ∗ ) {displaystyle forall Ain Sigma quad mu (A)=mu (f^{-1}(A)).qquad (*)}

Для обратимых отображений переход к прообразу в (*) может быть заменён на переход к образу: если отображение f − 1 {displaystyle f^{-1}} также измеримо в смысле ( X , Σ ) {displaystyle (X,Sigma )} , то эквивалентным является определение

∀ A ∈ Σ μ ( A ) = μ ( f ( A ) ) . {displaystyle forall Ain Sigma quad mu (A)=mu (f(A)).}

Однако в общей ситуации изменять определение таким образом нельзя: мера Лебега на окружности S 1 {displaystyle S^{1}} инвариантна относительно отображения удвоения x ↦ 2 x mod 1 {displaystyle xmapsto 2xmod 1} , однако мера дуги [ 0 , 1 / 3 ] {displaystyle [0,1/3]} отлична от меры её образа [ 0 , 2 / 3 ] {displaystyle [0,2/3]} .

Примеры

• Отображение x n + 1 = 2 x n m o d 1 ≡ f ( x n ) {displaystyle x_{n+1}=2x_{n}mod1equiv f(x_{n})} . Уравнение Перрона-Фробениуса для него имеет вид p ( x ) = 1 2 [ p ( x 2 ) + p ( x + 1 2 ) ] {displaystyle p(x)={frac {1}{2}}left[pleft({frac {x}{2}} ight)+pleft({frac {x+1}{2}} ight) ight]} . Подставляя это выражение в его же правую часть, получаем: p ( x ) = 1 4 [ p ( x 4 ) + p ( x + 1 4 ) + p ( x + 2 4 ) + p ( x + 3 4 ) ] {displaystyle p(x)={frac {1}{4}}left[pleft({frac {x}{4}} ight)+pleft({frac {x+1}{4}} ight)+pleft({frac {x+2}{4}} ight)+pleft({frac {x+3}{4}} ight) ight]} . Повторяя эту подстановку n {displaystyle n} раз, получаем: p ( x ) = 1 2 n ∑ i = 0 n − 1 p ( x + i 2 n ) → n → ∞ ∫ 0 1 p ( x ) d x = 1 {displaystyle p(x)={frac {1}{2^{n}}}sum _{i=0}^{n-1}pleft({frac {x+i}{2^{n}}} ight){xrightarrow {n o infty }}int _{0}^{1}p(x)dx=1} . Эта мера устойчива, то есть произвольная непрерывная мера будет сходится к ней.
• Отображение x n + 1 = 1 − 2 ∣ x n ∣ , x ∈ [ − 1 , 1 ] {displaystyle x_{n+1}=1-2mid x_{n}mid ,xin left[-1,1 ight]} или x n + 1 = 1 − 2 ∣ 2 x n − 1 ∣ , x ∈ [ 0 , 1 ] ( 1 ) {displaystyle x_{n+1}=1-2mid 2x_{n}-1mid ,xin left[0,1 ight](1)} . Существование устойчивой непрерывной инвариантной меры с p ( x ) = c o n s t {displaystyle p(x)=const} доказывается аналогично.
• Логистическое отображение x n + 1 = 1 − 2 x n 2 , x ∈ [ − 1 , 1 ] {displaystyle x_{n+1}=1-2x_{n}^{2},xin left[-1,1 ight]} . Производим замену x = − cos ⁡ π θ , θ ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle x=-cos pi heta , heta in left[0,1 ight]} , получаем − cos ⁡ π θ n + 1 = 1 − 2 ( cos ⁡ π θ n ) 2 = − cos ⁡ 2 π θ n {displaystyle -cos pi heta _{n+1}=1-2(cos pi heta _{n})^{2}=-cos 2pi heta _{n}} , θ n + 1 = { 2 θ n , θ n ⩽ 1 2 2 − 2 θ n , θ n > 1 2 {displaystyle heta _{n+1}={egin{cases}2 heta _{n}, heta _{n}leqslant {frac {1}{2}}2-2 heta _{n}, heta _{n}>{frac {1}{2}}end{cases}}} , что можно преобразовать к виду (1). Следовательно, для heta существует непрерывная постоянная плотность вероятности p( heta) = 1. Плотность вероятности для x следует из нее p(x) = frac{1}{pi sqrt{1-x^{2}}}