Комптоновская длина волны
Комптоновская длина волны (λC) — параметр элементарной частицы: величина размерности длины, характерная для релятивистских квантовых процессов, идущих с участием этой частицы. Комптоновская длина волны эквивалентна длине волны фотона, чья энергия равна энергии покоя самой частицы. Название параметра связано с именем А. Комптона и комптоновским эффектом.
Вычисление
Формула комптоновской длины волны получается из формулы де-бройлевской длины волны путём замены скорости частицы v на скорость света c:
λ C = 2 π ℏ m c = h m c . {displaystyle lambda _{C}={frac {2pi hbar }{mc}}={frac {h}{mc}}.}Для электрона, λe
C ≈ 0,0242 Å ≈ 2,4263102367(11)⋅10−12 м; для протона, λp
C ≈ 0,0000132 Å ≈ 1,32140985396(61)⋅10−15 м.
Можно также сказать, что комптоновская длина волны частицы равна длине волны фотона с энергией, равной энергии покоя данной частицы.
Приведённая комптоновская длина волны
В современной физике чаще употребляется приведённая комптоновская длина волны, которая меньше в 2π раз, то есть выражена не через обычную, а через приведённую постоянную Планка. Приведённая комптоновская длина волны обратна комптоновскому волновому числу:
λ ¯ C = λ C 2 π = ℏ m c . {displaystyle {overline {lambda }}_{C}={frac {lambda _{C}}{2pi }}={frac {hbar }{mc}}.}Для электрона, λe
C ≈ 0,00386 Å ≈ 3,8615926764(18)⋅10−13 м; для протона, λp
C ≈ 0,0000021 Å ≈ 2,10308910109(97)⋅10−16 м.
В физике ядра и элементарных частиц также имеют важное значение (приведённые) комптоновские длины волн:
- пи-мезона: λπ
C ≈ 1,46⋅10−15 м (характерное расстояние ядерных взаимодействий); - W-бозона: λW
C ≈ 2,45⋅10−18 м (характерное расстояние слабых взаимодействий).
Приведённая комптоновская длина волны часто возникает в уравнениях квантовой механики и квантовой теории поля. Так, в релятивистском уравнении Клейна — Гордона для свободной частицы
∇ 2 ψ − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ = ( m c ℏ ) 2 ψ {displaystyle mathbf { abla } ^{2}psi -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}psi =left({frac {mc}{hbar }} ight)^{2}psi }эта величина (в квадрате) выступает как множитель в правой части. В таком же качестве она появляется и в уравнении Дирака:
i γ μ ∂ μ ψ = ( m c ℏ ) ψ . {displaystyle igamma ^{mu }partial _{mu }psi =left({frac {mc}{hbar }} ight)psi .}Хотя в традиционное представление уравнения Шрёдингера комптоновская длина волны в явном виде не входит, его можно преобразовать так, чтобы она «проявилась». Так, нестационарное уравнение Шрёдингера для электрона в водородоподобном атоме с зарядовым числом ядра Z
i ℏ ∂ ∂ t ψ = − ℏ 2 2 m e ∇ 2 ψ − 1 4 π ϵ 0 Z e 2 r ψ {displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}psi =-{frac {hbar ^{2}}{2m_{e}}} abla ^{2}psi -{frac {1}{4pi epsilon _{0}}}{frac {Ze^{2}}{r}}psi }можно разделить на ℏ c {displaystyle hbar c} и переписать так, чтобы заменить элементарный заряд e на постоянную тонкой структуры α:
i c ∂ ∂ t ψ = − 1 2 ( ℏ m e c ) ∇ 2 ψ − α Z r ψ . {displaystyle {frac {i}{c}}{frac {partial }{partial t}}psi =-{frac {1}{2}}left({frac {hbar }{m_{e}c}} ight) abla ^{2}psi -{frac {alpha Z}{r}}psi .}В результате комптоновская длина волны электрона возникает как множитель в первом члене правой части.
В квантовой теории поля часто применяется упрощающая формулы естественная система единиц, в которой скорость света и постоянная Планка равны 1. В такой системе единиц комптоновская длина частицы просто обратна её массе: λC = 1/m.
Происхождение названия
Название «комптоновская длина волны» связано с тем, что величина λe
C определяет изменение длины волны электромагнитного излучения в эффекте Комптона.
В квантовой теории поля
Частица, локализованная в области с линейными размерами не более λC, согласно соотношению неопределённостей имеет квантовомеханическую неопределённость в импульсе не менее mc и неопределённость в энергии не менее mc², что достаточно для рождения пар частиц-античастиц с массой m. В такой области элементарная частица, вообще говоря, уже не может рассматриваться как «точечный объект», потому что часть времени она проводит в состоянии «частица + пары». В результате на расстояниях, меньших λC, частица выступает как система с бесконечным числом степеней свободы и её взаимодействия должны описываться в рамках квантовой теории поля — в этом фундаментальная роль параметра λC, определяющего минимальную погрешность, с которой может быть измерена координата частицы в её системе покоя. В частности, переход в промежуточное состояние «частица + пары», осуществляющийся за время ~λ/с, характерное для рассеяния света с длиной волны λ, при λ ≤ λC приводит к нарушению законов классической электродинамики в комптон-эффекте.
В действительности во всех случаях размер области, где частица перестаёт быть «точечным объектом», зависит не только от её комптоновской длины, но и от комптоновских длин других частиц, в которые данная частица может динамически превращаться. Но, например, для лептонов, не обладающих сильным взаимодействием, переход в другие состояния маловероятен (можно сказать, что он происходит редко или требует большого времени). Поэтому лептонная «шуба» из пар является как бы прозрачной, и во многих задачах лептоны с хорошей точностью могут рассматриваться как «точечные частицы». Для тяжёлого адрона, например нуклона N, эффективный размер области, где начинает проявляться «шуба», значительно больше комптоновской длины нуклона и определяется комптоновской длиной самого лёгкого из адронов — пиона π (заметим, что λπ
C ≈ 7λN
C). В области с линейным размером порядка λπ
C нуклоны с большой интенсивностью (из-за сильного взаимодействия) переходят в промежуточные состояния «нуклон + пионы», поэтому нуклонная «шуба», в отличие от лептонной, плотная.
Таким образом, эффективная область, где частица перестаёт проявляться как «точечная», определяется не только соответствующими комптоновскими длинами волн, но и константами взаимодействия данной частицы с другими частицами (полями).