Показать меню

Алгебраическая теория чисел

08.12.2020
125

Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей.

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство

x n = z n − y n = ∏ i = 1 n ( z − a i y ) {displaystyle x^{n}=z^{n}-y^{n}=prod _{i=1}^{n}(z-a_{i}y)} , где a i {displaystyle a_{i}} — корни степени n {displaystyle n} из единицы.

Таким образом Куммер определил новые целые числа вида z + a i y {displaystyle z+a_{i}y} . Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени n {displaystyle n} , то к нему нельзя подойти ближе чем на Q − n {displaystyle Q^{-n}} , приближаясь дробями вида P / Q {displaystyle P/Q} , где P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} — целые взаимно простые числа.

После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими.

Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции Дирихле, когомологии групп и многое другое.

Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).

Еще по этой теме:
Магический граф
00:55, 07 декабрь
Магический граф
Магический граф — это граф, допускающий такую разметку его рёбер положительными целыми числами, что сумма меток всех рёбер, инцидентных любой вершине, постоянна (то есть не зависит от выбора
Непрерывная дробь
15:59, 06 декабрь
Непрерывная дробь
Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида [ a 0
Тройка Эйзенштейна
08:14, 05 декабрь
Тройка Эйзенштейна
Тройка Эйзенштейна — тройка целых чисел, являющихся длинами сторон треугольника, в котором один из углов равен 60° (подобно пифагоровым тройкам, являющимся целыми длинами сторон прямоугольного
Биморфизм
03:32, 04 декабрь
Биморфизм
Биморфизм — морфизм категории, являющийся мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то есть морфизм, на который можно сокращать как слева, так и справа, теоретико-категорное обобщение понятия
Упорядоченная группа
00:06, 03 декабрь
Упорядоченная группа
Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Далее операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом
Квадратное треугольное число
05:27, 02 декабрь
Квадратное треугольное число
В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail: