Существенно особая точка

Изолированная особая точка z 0 {displaystyle z_{0}} функции f ( z ) {displaystyle f(z)} , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, называется существенно особой, если предел lim z → z 0 f ( z ) { extstyle lim _{z o {z_{0}}}f(z)} не существует.

Критерий существенно особой точки

Точка z 0 {displaystyle z_{0}} является существенной особой точкой функции f ( z ) {displaystyle f(z)} тогда и только тогда, когда в разложении функции f ( z ) {displaystyle f(z)} в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z 0 {displaystyle z_{0}} главная часть содержит бесконечное число отличных от нуля членов, то есть в разложении f ( z ) = ∑ k = − ∞ ∞ f k ( z − z 0 ) k {displaystyle f(z)=sum _{k=-infty }^{infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}} число коэффициентов f k ≠ 0 {displaystyle f_{k} eq 0} , k < 0 {displaystyle k<0} , бесконечно.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Каким бы ни было комплексное число B {displaystyle B} , для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} в любой окрестности существенно особой точки z 0 {displaystyle z_{0}} найдется точка z {displaystyle z} , такая, что | f ( z ) − B | < ε {displaystyle |f(z)-B|<varepsilon } .