Гладкая функция

Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные всех порядков.

Основные сведения

Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости r ⩾ 0 {displaystyle rgeqslant 0} имеет непрерывные производные всех порядков до r {displaystyle r} включительно (производная нулевого порядка — сама функция). Такие функции называются r {displaystyle r} -гладкими. Множество r {displaystyle r} -гладких функций, определённых в области Ω {displaystyle Omega } , обозначается C r ( Ω ) {displaystyle C^{r}(Omega )} . Запись f ∈ C ∞ ( Ω ) {displaystyle fin C^{infty }(Omega )} означает, что f ∈ C r ( Ω ) {displaystyle fin C^{r}(Omega )} для любого r {displaystyle r} , такие функции называют бесконечно-гладкими (иногда под гладкими функциями подразумевают именно бесконечно-гладкие). Иногда также используется запись f ∈ C ω ( Ω ) {displaystyle fin C^{omega }(Omega )} или f ∈ C a ( Ω ) {displaystyle fin C^{a}(Omega )} , которая означает, что f {displaystyle f} — аналитическая.

Например, C 0 ( Ω ) {displaystyle C^{0}(Omega )} — множество непрерывных на Ω {displaystyle Omega } функций, а C 1 ( Ω ) {displaystyle C^{1}(Omega )} — множество непрерывно-дифференцируемых на Ω {displaystyle Omega } функций, то есть функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.

Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Приближение аналитическими функциями

Пусть область Ω {displaystyle Omega } открыта в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} и f ∈ C k ( Ω ) {displaystyle fin C^{k}(Omega )} , 0 ⩽ k ⩽ ∞ {displaystyle 0leqslant kleqslant infty } . Пусть { K p } {displaystyle {K_{p}}} — последовательность компактных подмножеств Ω {displaystyle Omega } такая, что K 0 = ∅ {displaystyle K_{0}=varnothing } , K p ⊂ K p + 1 {displaystyle K_{p}subset K_{p+1}} и ⋃ K p = Ω {displaystyle igcup K_{p}=Omega } . Пусть { n p } {displaystyle {n_{p}}} — произвольная последовательность положительных целых чисел и m p = min ( k , n p ) {displaystyle m_{p}=min(k,;n_{p})} . Наконец, пусть { ε p } {displaystyle {varepsilon _{p}}} — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует вещественно-аналитическая функция g {displaystyle g} , определённая в Ω {displaystyle Omega } такая, что для всякого p ⩾ 0 {displaystyle pgeqslant 0} выполнено неравенство

‖ f − g ‖ C m p ( K p + 1 ∖ K p ) < ε p , {displaystyle |f-g|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}ackslash K_{p}})}<varepsilon _{p},}

где ‖ f − g ‖ C m p ( K p + 1 ∖ K p ) {displaystyle |f-g|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}ackslash K_{p}})}} обозначает максимум из норм (в смысле равномерной сходимости, то есть максимума модуля на множестве K p + 1 ∖ K p {displaystyle {K_{p+1}ackslash K_{p}}} ) производных функции f − g {displaystyle f-g} всех порядков от нуля до m p {displaystyle {m_{p}}} включительно.

Дробная гладкость

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости. Функция f {displaystyle f} принадлежит классу C r , α {displaystyle C^{r,;alpha }} , где r {displaystyle r} — целое неотрицательное число и 0 < α ⩽ 1 {displaystyle 0<alpha leqslant 1} , если имеет производные до порядка r {displaystyle r} включительно и f ( r ) {displaystyle f^{(r)}} является гёльдеровской с показателем α {displaystyle alpha } .

В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера», используется термин «показатель Липшица».