Показать меню

Равнодиагональный четырёхугольник

13.12.2020
24

В евклидовой геометрии равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины. Равнодиагональные четырёхугольники имели важное значение в древней индийской математике, где в классификации в первую очередь выделялись равнодиагональные четырёхугольники, и только потом четырёхугольники подразделялись на другие типы .

Специальные случаи

Примерами равнодиагональных четырёхугольников являются равнобедренные трапеции, прямоугольники и квадраты.

Среди всех четырёхугольников наибольшее отношение периметра к диаметру имеет равнодиагональный дельтоид с углами π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12 .

Описание

Выпуклый четырёхугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона, образованный серединами сторон, является ромбом. Эквивалентное условие — бимедианы четырёхугольника (диагонали параллелогоамма Вариньона) перпендикулярны .

Выпуклый четырёхугольник с длинами диагоналей p {displaystyle p} и q {displaystyle q} и длинами бимедианам m {displaystyle m} и n {displaystyle n} является равнодиагональным тогда и только тогда, когда

p q = m 2 + n 2 . {displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}

Площадь

Площадь K равнодиагонального четырёхугольника можно легко вычислить, если известны длины бимедиан m и n. Четырёхугольник равнодиагонален тогда и только тогда, когда

K = m n . {displaystyle displaystyle K=mn.}

Это прямое следствие факта, что площадь выпуклого четырёхугольника равна удвоенной площади параллелограмма Вариньона и что диагонали в этом параллелограмме являются бимедианами четырёхугольника. Если использовать формулы длин бимедиан, площадь можно выразить в терминах сторон a, b, c, d равнодиагонального четырёхугольника и расстояния x между серединами диагоналей

K = 1 4 ( 2 ( a 2 + c 2 ) − 4 x 2 ) ( 2 ( b 2 + d 2 ) − 4 x 2 ) . {displaystyle K={ frac {1}{4}}{sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}

Другую формулу площади можно получить, приняв p = q в формуле площади выпуклого четырёхугольника.

Связь с другими типами четырёхугольников

Параллелограмм равнодиагонален тогда и только тогда, когда он является прямоугольником, а трапеция равнодиагональна тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. Вписанные равнодиагональные четырёхугольники всегда являются равнобедренными трапециями.

Существует двойственность между равнодиагональными четырёхугольниками и ортодиагональными четырёхугольниками – четырёхугольник равнодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона имеет перпендикулярные диагонали (т.е. является ромбом), а четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона равнодиагонален (т.е. является прямоугольником). Эквивалентно, четырёхугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда в нём бимедианы перпендикулярны, и он имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда у него равны бимедианы, Сильвестер указал дальнейшую связь между равнодиагональными и ортодиагональными четырёхугольниками посредством обобщения теоремы Ван-Обеля .

Четырёхугольники, которые одновременно ортодиагональны и равнодиагональны, и у которых диагонали не короче всех сторон четырёхугольника, имеют максимальную площадь по отношению к диаметру, что решает случай n = 4 задачи наибольшего по площади многоугольника единичного диаметра. Квадрат является одним из таких четырёхугольников, но есть бесконечно много других. Равнодиагональные четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями называют среднеквадратными четырёхугольниками , поскольку это только те четырёхугольники, для которых параллелограмм Вариньона (с вершинами в середине сторон четырёхугольника) является квадратом. Такие четырёхугольники со сторонами a, b, c и d имеют площадь .

K = a 2 + c 2 + 4 ( a 2 c 2 + b 2 d 2 ) − ( a 2 + c 2 ) 2 4 . {displaystyle K={frac {a^{2}+c^{2}+{sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}}{4}}.}
Еще по этой теме:
Многогранник
13:08, 09 декабрь
Многогранник
Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью. Определение Многогранник, точнее
Рокингем Мотор Спидвей
17:16, 07 декабрь
Рокингем Мотор Спидвей
Рокингем Мотор Спидвей — гоночная трасса близ Рокингема и Корби, Нортгемптоншир, Англия. Трасса была открыта 26 мая 2001 г. в присутствии королевы. Трибуны вмещают 62 тыс. зрителей. Трасса включает в
Высокопёрый понтинус
14:11, 07 декабрь
Высокопёрый понтинус
Высокопёрый понтинус (лат. Pontinus rathbuni) — вид лучепёрых рыб из семейства скорпеновых. Распространены в западной части Атлантического океана. Описание Тело удлинённое, несколько сжато с
Тройка Эйзенштейна
08:14, 05 декабрь
Тройка Эйзенштейна
Тройка Эйзенштейна — тройка целых чисел, являющихся длинами сторон треугольника, в котором один из углов равен 60° (подобно пифагоровым тройкам, являющимся целыми длинами сторон прямоугольного
Carebara jiangxiensis
22:12, 01 декабрь
Carebara jiangxiensis
Carebara jiangxiensis (лат.) — вид очень мелких муравьёв рода Carebara из подсемейства Myrmicinae (Formicidae). Китай. Описание Мелкие муравьи желтовато-коричневого цвета. От близких видов
Подземные воды
17:41, 16 июнь
Подземные воды
Вода, просачивающаяся в верхние слои земной коры, образует подземную воду суши. Обязательное условие наличия воды в почвах и горных породах — свободные пространства: поры, трещины, пустоты.
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent