Задача Келети о квадратах

Задача Келети — вопрос комбинаторной геометрии про верхнюю оценку на отношение периметра к площади объединения равных квадратов. Сформулирован Тамасом Келети в 1998 году. В 2014 году был найден контрпример.

Формулировка

Предположим F {displaystyle F} — объединение конечного числа единичных квадратов на плоскости. Верно ли, что

P ( F ) S ( F ) ≤ 4 , {displaystyle {frac {P(F)}{S(F)}}leq 4,}

где P ( F ) {displaystyle P(F)} обозначает периметр, а S ( F ) {displaystyle S(F)} площадь F {displaystyle F} .

Замечания

• Если все у всех квадратов совпадают центры, то выполняется равенство. P ( F ) S ( F ) = 4. {displaystyle {frac {P(F)}{S(F)}}=4.}

История

• Тамас Келети доказал, что отношение ограничено сверху некоторой константой.
• Генеш доказал, что P ( F ) S ( F ) ≤ 5 , 6. {displaystyle {frac {P(F)}{S(F)}}leq 5{,}6.}

Он также доказал, P ( F ) S ( F ) ≤ 4 {displaystyle {frac {P(F)}{S(F)}}leq 4} в трёх случаях:

• если все квадраты из семейства получаются друг из друга параллельным переносом,
• если квадраты имею общий центр
• если число квадратов равно 2.

• В 2014 году, Виктор Кисс и Золтен Виндянски построили контрпример из 5 квадратов. Они также построили пример с отношением около 4 , 28 {displaystyle 4{,}28} .

Вариации и обобщения

• По теореме Келети, для данного многоугольника K, частное периметра к площади у произвольного объединения многоугольников равных K, ограничено сверху.
• Аналогичные задачи для правильных многоугольников также имеют контрпримеры. То есть для правильного многоугольника K существует конечный набор равных многоугольников с объединением F такой, что

P ( F ) S ( F ) > P ( K ) S ( K ) . {displaystyle {frac {P(F)}{S(F)}}>{frac {P(K)}{S(K)}}.}