Показать меню

Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности

15.12.2020
10

Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причём этот предел равен её точной верхней (или нижней) грани. Несмотря на прозрачность и очевидность доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей или хотя бы доказательства их существования.

Формулировка и доказательство

Пусть x n {displaystyle {x_{n}}} — ограниченная возрастающая последовательность. Тогда множество { x n } n ∈ N {displaystyle {x_{n}}_{nin mathbb {N} }} ограничено, следовательно, по теореме о супремуме, имеет супремум. Обозначим его через S {displaystyle S} . Тогда lim n → ∞ x n = S {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=S} . Действительно, так как S {displaystyle S} — супремум множества { x n } n ∈ N {displaystyle {x_{n}}_{nin mathbb {N} }} , то для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует номер N {displaystyle N} такой, что S − ε < x N ⩽ S {displaystyle S-varepsilon <x_{N}leqslant S} . Тогда для любого n > N {displaystyle n>N} имеем: S − ε < x N ⩽ x n ⩽ S < S + ε {displaystyle S-varepsilon <x_{N}leqslant x_{n}leqslant S<S+varepsilon } . Тогда | x n − S | < ε {displaystyle left|{x_{n}-S} ight|<varepsilon } при n > N {displaystyle n>N} . Следовательно, lim n → ∞ x n = S {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=S} . Теорема доказана.

Еще по этой теме:
Нётерово пространство
01:20, 15 декабрь
Нётерово пространство
Нётерово пространство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств. То есть для каждой последовательности замкнутых
Теорема Крылова — Боголюбова
16:07, 12 декабрь
Теорема Крылова — Боголюбова
Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и
Существенно особая точка
14:44, 12 декабрь
Существенно особая точка
Изолированная особая точка z 0 {displaystyle z_{0}} функции f (
Теорема Эренфеста
15:20, 11 декабрь
Теорема Эренфеста
Теорема Эренфеста (Уравнения Эренфеста) — утверждение о виде уравнений квантовой механики для средних значений наблюдаемых величин гамильтоновых систем. Эти уравнения впервые получены Паулем
Теорема Бондаревой — Шепли
20:24, 03 декабрь
Теорема Бондаревой — Шепли
В теории игр теорема Бондаревой — Шепли описывает необходимые и достаточные условия для непустоты ядра в кооперативной игре. В частности, ядро игры непусто тогда и только тогда, когда игра
Вариационный ряд
08:23, 03 декабрь
Вариационный ряд
Вариационный ряд (упорядоченная выборка) — последовательность X ( 1 ) ⩽
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent