Показать меню

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи

16.12.2020
59

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):

( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 ( 1 ) = ( a c + b d ) 2 + ( a d − b c ) 2 . ( 2 ) {displaystyle {egin{aligned}left(a^{2}+b^{2} ight)left(c^{2}+d^{2} ight)&{}=left(ac-bd ight)^{2}+left(ad+bc ight)^{2}&&(1)&{}=left(ac+bd ight)^{2}+left(ad-bc ight)^{2}.&&(2)end{aligned}}}

В терминах общей алгебры, это тождество означает, что множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения.

Пример: ( 1 2 + 4 2 ) ( 2 2 + 7 2 ) = 26 2 + 15 2 = 30 2 + 1 2 . {displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}

История

Впервые данное тождество было опубликовано в III веке н. э. Диофантом Александрийским в трактате «Арифметика» (книга III, теорема 19). Индийский математик и астроном Брахмагупта в VI веке, вероятно, независимо открыл и несколько обобщил тождество, добавив произвольный параметр n {displaystyle n} :

( a 2 + n b 2 ) ( c 2 + n d 2 ) = ( a c − n b d ) 2 + n ( a d + b c ) 2 ( 3 ) = ( a c + n b d ) 2 + n ( a d − b c ) 2 . ( 4 ) {displaystyle {egin{aligned}left(a^{2}+nb^{2} ight)left(c^{2}+nd^{2} ight)&{}=left(ac-nbd ight)^{2}+nleft(ad+bc ight)^{2}&&(3)&{}=left(ac+nbd ight)^{2}+nleft(ad-bc ight)^{2}.&&(4)end{aligned}}}

Брахмагупта описал тождество в трактате «Брахма-спхута-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы», 628 год) и использовал для решения уравнения Пелля (см. ниже)

В Европе тождество впервые появилось в «Книге квадратов» (Liber quadratorum) Фибоначчи (1225 год).

Комплексное представление

Пусть a + b i , c + d i {displaystyle a+bi,c+di} — комплексные числа. Тогда тождество Брахмагупты — Фибоначчи равносильно мультипликативному свойству комплексного модуля:

| a + b i | ⋅ | c + d i | = | ( a + b i ) ( c + d i ) | . {displaystyle |a+bi|cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.}

В самом деле, возведя обе части в квадрат, получаем:

| a + b i | 2 ⋅ | c + d i | 2 = | ( a c − b d ) + i ( a d + b c ) | 2 , {displaystyle |a+bi|^{2}cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},}

или, поскольку квадрат модуля равен сумме квадратов вещественной и мнимой частей:

( a 2 + b 2 ) ⋅ ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 . {displaystyle (a^{2}+b^{2})cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}

Применения

Решение уравнения Пелля

Как уже говорилось выше, Брахмагупта применял своё тождество (3), (4) при решении уравнения Пелля:

x 2 − n y 2 = 1 , {displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,}

где n {displaystyle n} — натуральное число, не являющееся квадратом. Брахмагупта сначала подбирал начальное решение урванения, затем записывал тождество в следующем виде:

( x 1 2 − A y 1 2 ) ( x 2 2 − A y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + A y 1 y 2 ) 2 − A ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 , {displaystyle (x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}

Отсюда видно, что если тройки x 1 , y 1 , k 1 {displaystyle x_{1},y_{1},k_{1}} и x 2 , y 2 , k 2 {displaystyle x_{2},y_{2},k_{2}} образуют решение уравнения x2 − Ay2 = k, то можно найти ещё одну тройку

( x 1 x 2 + A y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 , k 1 k 2 ) . {displaystyle (x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2},,,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},,,k_{1}k_{2}).}

и т. д., получая бесконечный ряд решений.

Общий метод решения уравнения Пелля, опубликованный в 1150 году Бхаскарой II (метод «чакравала»), также опирается на тождество Брахмагупты.

Разложение целого числа на сумму двух квадратов

В сочетании с теоремой Ферма — Эйлера, тождество Брахмагупты — Фибоначчи показывает, что произведение квадрата целого числа на любое количество простых чисел вида 4 m + 1 {displaystyle 4m+1} представимо в виде суммы квадратов.

Вариации и обобщения

Изначально тождество применялось к целым числам, однако оно справедливо в любом коммутативном кольце или в поле, например, в кольце многочленов или в поле комплексных чисел.

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи представляет собой частный случай тождества четырёх квадратов Эйлера или тождества Лагранжа (теория чисел). Тождество четырёх квадратов применимо также к кватернионам, а аналогичное тождество восьми квадратов — к октонионам.

Еще по этой теме:
Задача Келети о квадратах
20:21, 14 декабрь
Задача Келети о квадратах
Задача Келети — вопрос комбинаторной геометрии про верхнюю оценку на отношение периметра к площади объединения равных квадратов. Сформулирован Тамасом Келети в 1998 году. В 2014 году был найден
Наращённый усечённый куб
22:54, 13 декабрь
Наращённый усечённый куб
Наращённый усечённый куб — один из многогранников Джонсона (J66, по Залгаллеру — М11+М5). Составлен из 22 граней: 12 правильных треугольников, 5 квадратов и 5 правильных восьмиугольников. Среди
Гипотенуза
20:57, 11 декабрь
Гипотенуза
Гипотенуза (греч. ὑποτείνουσα, натянутая) — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью
Тождество Якоби
10:05, 05 декабрь
Тождество Якоби
Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операции [ ⋅ , ⋅ ] : V × V
Окружность Аполлония
01:13, 02 декабрь
Окружность Аполлония
Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице. Биполярные координаты — ортогональная
Метод тренда (полиномов)
14:15, 13 март
Метод тренда (полиномов)
Метод тренда определяет поверхность, соответствующую опорным точкам, через регрессионное уравнение. Регрессионное уравнение представляет собой зависимость изучаемого показателя от координат х,у.
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent