Показать меню

Правильный семнадцатиугольник

16.12.2020
13

Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Среди других правильных многоугольников с большим (больше пяти) простым числом сторон интересен тем, что его можно построить при помощи циркуля и линейки (так, семи-, одиннадцати- и тринадцатиугольники построить циркулем и линейкой нельзя).

Свойства

Центральный угол α равен 360 ∘ 17 ≈ 21,176 47059 ∘ {displaystyle {frac {360^{circ }}{17}}approx 21{,}17647059^{circ }} .

Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет

s = 2 ⋅ r u ⋅ sin ⁡ ( α 2 ) ≈ r u ⋅ 0,367 5. {displaystyle s=2cdot r_{u}cdot sin left({frac {alpha }{2}} ight)approx r_{u}cdot 0{,}3675.}

Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, что было доказано Гауссом в монографии «Арифметические исследования» (1796 год). Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:

cos ⁡ 360 ∘ 17 = {displaystyle cos {frac {360^{circ }}{17}}=} = 1 16 ( − 1 + 17 + 2 ( 17 − 17 ) + 2 17 + 3 17 − 2 ( 17 − 17 ) − 2 2 ( 17 + 17 ) ) . {displaystyle ={frac {1}{16}}left(-1+{sqrt {17}}+{sqrt {2left(17-{sqrt {17}} ight)}}+2{sqrt {17+3{sqrt {17}}-{sqrt {2left(17-{sqrt {17}} ight)}}-2{sqrt {2left(17+{sqrt {17}} ight)}}}} ight).}

В этой же работе Гаусс доказал, что если нечётные простые делители числа n являются различными простыми Ферма (числа Ферма), то есть простыми числами вида F m = 2 2 m + 1 , {displaystyle F_{m}=2^{2^{m}}+1,} то правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки (см. Теорема Гаусса — Ванцеля).

Факты

  • Гаусс был настолько воодушевлён своим открытием, что в конце жизни завещал, чтобы правильный семнадцатиугольник высекли на его могиле. Скульптор отказался это сделать, утверждая, что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от окружности.
  • В 1893 году Герберт Уильям Ричмонд опубликовал явное описание построения правильного семнадцатиугольника в 64 шагах. Ниже приводится это построение.

Построение

Точное построение

  • Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
  • Проводим её диаметр AB.
  • Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
  • Отмечаем точку E — середину DO.
  • Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
  • Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
  • Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
  • Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
  • Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
  • Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
  • Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N. Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
  • Строим касательную к k₃ через N.
  • Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

    Примерное построение

    Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

  • Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
  • Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
  • Делим пополам отрезок EB (точка F).
  • строим перпендикуляр к AB в точке F.
    • Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.

    Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

    При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

    Анимированное построение Эрхингера

    Построение семнадцатиугольника циркулем и линейкой в 64 шага по Йоханнесу Эрхингеру

    Звёздчатые формы

    У правильного семнадцатиугольника существуют 7 правильных звёздчатых форм.

    • {17/2}

    • {17/3}

    • {17/4}

    • {17/5}

    • {17/6}

    • {17/7}

    • {17/8}

    Еще по этой теме:
    Задача Келети о квадратах
    20:21, 14 декабрь
    Задача Келети о квадратах
    Задача Келети — вопрос комбинаторной геометрии про верхнюю оценку на отношение периметра к площади объединения равных квадратов. Сформулирован Тамасом Келети в 1998 году. В 2014 году был найден
    Наращённый усечённый куб
    22:54, 13 декабрь
    Наращённый усечённый куб
    Наращённый усечённый куб — один из многогранников Джонсона (J66, по Залгаллеру — М11+М5). Составлен из 22 граней: 12 правильных треугольников, 5 квадратов и 5 правильных восьмиугольников. Среди
    Золотой прямоугольник
    23:53, 10 декабрь
    Золотой прямоугольник
    Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции, 1 : 1
    Коэффициент сетчатости
    05:44, 05 декабрь
    Коэффициент сетчатости
    Коэффициент сетчатости — инвариант планарных графов, измеряющий число ограниченных граней графа по отношению к возможному числу граней других планарных графов с тем же числом вершин. Коэффициент
    Квадратное треугольное число
    05:27, 02 декабрь
    Квадратное треугольное число
    В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных
    Окружность Аполлония
    01:13, 02 декабрь
    Окружность Аполлония
    Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице. Биполярные координаты — ортогональная
    Комментарии:
    Добавить комментарий
    Ваше Имя:
    Ваш E-Mail:
    • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
      heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
      winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
      worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
      expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
      disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
      joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
      sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
      neutral_faceno_mouthinnocent