Правильный семнадцатиугольник

Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Среди других правильных многоугольников с большим (больше пяти) простым числом сторон интересен тем, что его можно построить при помощи циркуля и линейки (так, семи-, одиннадцати- и тринадцатиугольники построить циркулем и линейкой нельзя).

Свойства

Центральный угол α равен 360 ∘ 17 ≈ 21,176 47059 ∘ {displaystyle {frac {360^{circ }}{17}}approx 21{,}17647059^{circ }} .

Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет

s = 2 ⋅ r u ⋅ sin ⁡ ( α 2 ) ≈ r u ⋅ 0,367 5. {displaystyle s=2cdot r_{u}cdot sin left({frac {alpha }{2}} ight)approx r_{u}cdot 0{,}3675.}

Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, что было доказано Гауссом в монографии «Арифметические исследования» (1796 год). Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:

cos ⁡ 360 ∘ 17 = {displaystyle cos {frac {360^{circ }}{17}}=} = 1 16 ( − 1 + 17 + 2 ( 17 − 17 ) + 2 17 + 3 17 − 2 ( 17 − 17 ) − 2 2 ( 17 + 17 ) ) . {displaystyle ={frac {1}{16}}left(-1+{sqrt {17}}+{sqrt {2left(17-{sqrt {17}} ight)}}+2{sqrt {17+3{sqrt {17}}-{sqrt {2left(17-{sqrt {17}} ight)}}-2{sqrt {2left(17+{sqrt {17}} ight)}}}} ight).}

В этой же работе Гаусс доказал, что если нечётные простые делители числа n являются различными простыми Ферма (числа Ферма), то есть простыми числами вида F m = 2 2 m + 1 , {displaystyle F_{m}=2^{2^{m}}+1,} то правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки (см. Теорема Гаусса — Ванцеля).

Факты

• Гаусс был настолько воодушевлён своим открытием, что в конце жизни завещал, чтобы правильный семнадцатиугольник высекли на его могиле. Скульптор отказался это сделать, утверждая, что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от окружности.

• В 1893 году Герберт Уильям Ричмонд опубликовал явное описание построения правильного семнадцатиугольника в 64 шагах. Ниже приводится это построение.

Построение

Точное построение

Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.

Проводим её диаметр AB.

Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.

Отмечаем точку E — середину DO.

Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.

Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.

Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.

Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.

Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.

Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.

Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N. Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.

Строим касательную к k₃ через N.

Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

Примерное построение

Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;

Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).

Делим пополам отрезок EB (точка F).

строим перпендикуляр к AB в точке F.

• Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.

Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

Анимированное построение Эрхингера

Построение семнадцатиугольника циркулем и линейкой в 64 шага по Йоханнесу Эрхингеру

Звёздчатые формы

У правильного семнадцатиугольника существуют 7 правильных звёздчатых форм.

• {17/2}

• {17/3}

• {17/4}

• {17/5}

• {17/6}

• {17/7}

• {17/8}