Категория функторов

В теории категорий функторы между двумя зафиксированными категориями образуют категорию, морфизмы в которой — естественные преобразования.

Определение

Пусть C -малая категория (её объекты и морфизмы образуют множество) и D — произвольная категория. Тогда категория функторов из C в D, обозначаемая Fun(C, D), Funct(C,D) или DC, определяется следующим образом: объекты — ковариантные функторы из C в D, морфизмы — естественные преобразования между этими функторами. Поскольку композиция естественных преобразований естественна (см. Естественное преобразование) и тождественное преобразование естественно, DC удовлетворяет аксиомам категории.

Аналогичным образом определяется категория контравариантных функторов из C в D, обозначаемая Funct(Cop,D).

Примеры

• Если I — малая дискретная категория (все морфизмы — тождественные), то функтор из I в C — это просто семейство объектов C, индексированное I. Категории CI в этом случае соответствует некоторая категория произведения.
• Категория стрелок C → {displaystyle {mathcal {C}}^{ ightarrow }} (объекты — морфизмы C, морфизмы — коммутативные квадраты) — это категория C 2 {displaystyle {mathcal {C}}^{mathbf {2} }} , где 2 обозначает категорию из двух объектов, тождественных морфизмов, а также одного морфизма из первого объекта во второй.
• ориентированный граф представляет собой множество стрелок и множество вершин, сопоставляющих каждой стрелке вершину-начало и вершину-конец. Категория ориентированных графов представляет собой не что иное как категорию SetC, где C — категория с двумя объектами и двумя морфизмами между ними, а Set — категория множеств.

Свойства

• Если D — полная категория (или кополная), то такова и DC;
• Если D — абелева категория, то такова и DC;
• Если C — малая категория, то категория предпучков SetC — топос.
• Каждый функтор F : D → E индуцирует функтор FC : DC → EC (путём композиции с F). Если F и G — пара сопряженных функторов, то таковы и FC и GC.
• Категория DC удовлетворяет всем свойствам экспоненциала; в частности функторы E × C → D находятся во взаимно-однозначном соответствии с функторами из E в DC. Категория Cat малых категорий, следовательно, является декартово замкнутой.