Показать меню

Категория функторов

18.12.2020
13

В теории категорий функторы между двумя зафиксированными категориями образуют категорию, морфизмы в которой — естественные преобразования.

Определение

Пусть C -малая категория (её объекты и морфизмы образуют множество) и D — произвольная категория. Тогда категория функторов из C в D, обозначаемая Fun(C, D), Funct(C,D) или DC, определяется следующим образом: объекты — ковариантные функторы из C в D, морфизмы — естественные преобразования между этими функторами. Поскольку композиция естественных преобразований естественна (см. Естественное преобразование) и тождественное преобразование естественно, DC удовлетворяет аксиомам категории.

Аналогичным образом определяется категория контравариантных функторов из C в D, обозначаемая Funct(Cop,D).

Примеры

  • Если I — малая дискретная категория (все морфизмы — тождественные), то функтор из I в C — это просто семейство объектов C, индексированное I. Категории CI в этом случае соответствует некоторая категория произведения.
  • Категория стрелок C → {displaystyle {mathcal {C}}^{ ightarrow }} (объекты — морфизмы C, морфизмы — коммутативные квадраты) — это категория C 2 {displaystyle {mathcal {C}}^{mathbf {2} }} , где 2 обозначает категорию из двух объектов, тождественных морфизмов, а также одного морфизма из первого объекта во второй.
  • ориентированный граф представляет собой множество стрелок и множество вершин, сопоставляющих каждой стрелке вершину-начало и вершину-конец. Категория ориентированных графов представляет собой не что иное как категорию SetC, где C — категория с двумя объектами и двумя морфизмами между ними, а Set — категория множеств.

Свойства

  • Если D — полная категория (или кополная), то такова и DC;
  • Если D — абелева категория, то такова и DC;
  • Если C — малая категория, то категория предпучков SetC — топос.
  • Каждый функтор F : DE индуцирует функтор FC : DCEC (путём композиции с F). Если F и G — пара сопряженных функторов, то таковы и FC и GC.
  • Категория DC удовлетворяет всем свойствам экспоненциала; в частности функторы E × CD находятся во взаимно-однозначном соответствии с функторами из E в DC. Категория Cat малых категорий, следовательно, является декартово замкнутой.
Еще по этой теме:
Киноостров
12:32, 17 декабрь
Киноостров
Кинофестиваль «Киноостров» — это Всероссийский детский кинофестиваль, с 2009 года ежегодно проводится в Санкт-Петербурге. На фестивале представлены фильмы, созданные детьми, при участии детей и для
Биморфизм
03:32, 04 декабрь
Биморфизм
Биморфизм — морфизм категории, являющийся мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то есть морфизм, на который можно сокращать как слева, так и справа, теоретико-категорное обобщение понятия
Категория множеств
10:38, 02 декабрь
Категория множеств
Категория множеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не
Техника полевой почвенной съемки (часть 1)
13:04, 13 март
Техника полевой почвенной съемки (часть 1)
Скорость производства почвенно-картографических работ во многом определяется характером рельефа. В зависимости от сочетания форм рельефа устанавливается определенная категория местности, согласно
Классификация земель России
10:46, 13 март
Классификация земель России
Агропроизводственная группировка почв недостаточно учитывает важнейшие характеристики ландшафта, такие как рельеф, литологические, гидрологические и микроклиматические условия, поэтому наряду с
Агроэкологическая типизация и классификация земель (часть 2)
10:46, 13 март
Агроэкологическая типизация и классификация земель (часть 2)
В соответствии с характером лимитирующих факторов и набором мероприятий по их преодолению типы земель ранжируются по шести категориям. I категория. Земли, пригодные для возделывания
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent