Уравнения Чаплыгина

Уравнения Чаплыгина — уравнения динамики неголономной системы. Получены С. А. Чаплыгиным в 1895 году. Позволяют упростить уравнения динамики неголономных систем путём исключения из уравнений динамики связей и уменьшения числа интегрируемых уравнений на число связей.

Формулировка

Рассмотрим неголономную систему с s {displaystyle s} степенями свободы и d {displaystyle d} неголономными связями. Обозначим кинетическую энергию системы T {displaystyle T} , потенциальную энергию Π {displaystyle Pi } . Обобщённые скорости зависимых координат q ˙ k = ∑ m = 1 s − d h k m q ˙ m + h k {displaystyle {dot {q}}_{k}=sum _{m=1}^{s-d}h_{km}{dot {q}}_{m}+h_{k}} , где k = s − d + 1 , . . . , s {displaystyle k=s-d+1,...,s} . Обозначим T ∗ {displaystyle T^{*}} кинетическую энергию системы после исключения зависимых скоростей q ˙ s − d + 1 , q ˙ s − d + 2 , . . . , q ˙ s {displaystyle {dot {q}}_{s-d+1},{dot {q}}_{s-d+2},...,{dot {q}}_{s}} .

Уравнения динамики неголономной системы имеют вид

d d t ( ∂ T ∗ ∂ q ˙ m ) − ∂ T ∗ ∂ q m + ∑ k = s − d + 1 s ∂ T ∂ q ˙ k ∑ r = 1 s − d ( ∂ h k r ∂ q m − ∂ h k m ∂ q r ) q ˙ r = − ∂ Π ∂ q m , {displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {partial T^{*}}{partial {dot {q}}_{m}}} ight)-{frac {partial T^{*}}{partial q_{m}}}+sum _{k=s-d+1}^{s}{frac {partial T}{partial {dot {q}}_{k}}}sum _{r=1}^{s-d}left({frac {partial h_{kr}}{partial q_{m}}}-{frac {partial h_{km}}{partial q_{r}}} ight){dot {q}}_{r}=-{frac {partial Pi }{partial q_{m}}},}

где m = 1 , 2 , . . . , s − d . {displaystyle m=1,2,...,s-d.} В этих уравнениях можно исключить скорости зависимых координат q ˙ s − d + 1 , q ˙ s − d + 2 , . . . , q ˙ s {displaystyle {dot {q}}_{s-d+1},{dot {q}}_{s-d+2},...,{dot {q}}_{s}} при помощи уравнений q ˙ k = ∑ m = 1 s − d h k m q ˙ m + h k {displaystyle {dot {q}}_{k}=sum _{m=1}^{s-d}h_{km}{dot {q}}_{m}+h_{k}} и таким образом получить s − d {displaystyle s-d} уравнений с s − d {displaystyle s-d} неизвестными q 1 , q 2 , . . . , q s − d {displaystyle q_{1},q_{2},...,q_{s-d}} , которые интегрируются независимо от уравнений неголономных связей.