Показать меню

Теорема Гротендика о расщеплении

18.12.2020
11

Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над C P 1 {displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{1}} является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений.

История

Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году. Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году, но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю и в 1905 году Давиду Гильберту.

Формулировки

Формулировка Гротендика

Каждое голоморфное векторное расслоение E {displaystyle {mathcal {E}}} над C P 1 {displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{1}} голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:

E ≅ O ( a 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ O ( a n ) , {displaystyle {mathcal {E}}cong {mathcal {O}}(a_{1})oplus cdots oplus {mathcal {O}}(a_{n}),}

где O ( a ) {displaystyle {mathcal {O}}(a)} обозначает расслоение с классом Черна a {displaystyle a} . Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.

Формулировка Биркгофа

Обратимая матрица M {displaystyle M} , каждая компонента которой является многочленом Лорана от z {displaystyle z} , представляется в виде произведения

M = M + M 0 M − {displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}} ,

где матрица M + {displaystyle M^{+}} — многочлен от z {displaystyle z} , M 0 {displaystyle M^{0}} — диагональная матрица, и матрица M − {displaystyle M^{-}} — многочлен от 1 z {displaystyle { frac {1}{z}}} .

Приложения

  • Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.

Вариации и обобщения

  • Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над P k 1 {displaystyle mathbb {P} _{k}^{1}} для любого поля k {displaystyle k} .
Еще по этой теме:
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
21:30, 15 декабрь
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или
Комплексная проективная плоскость
10:00, 13 декабрь
Комплексная проективная плоскость
Комплексная проективная плоскость — двумерное комплексное проективное пространство; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4. Обычно обозначается
Теорема Крылова — Боголюбова
16:07, 12 декабрь
Теорема Крылова — Боголюбова
Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и
Теорема Эренфеста
15:20, 11 декабрь
Теорема Эренфеста
Теорема Эренфеста (Уравнения Эренфеста) — утверждение о виде уравнений квантовой механики для средних значений наблюдаемых величин гамильтоновых систем. Эти уравнения впервые получены Паулем
Тождество Якоби
10:05, 05 декабрь
Тождество Якоби
Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операции [ ⋅ , ⋅ ] : V × V
Теорема Бондаревой — Шепли
20:24, 03 декабрь
Теорема Бондаревой — Шепли
В теории игр теорема Бондаревой — Шепли описывает необходимые и достаточные условия для непустоты ядра в кооперативной игре. В частности, ядро игры непусто тогда и только тогда, когда игра
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent