Теорема Гротендика о расщеплении

Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над C P 1 {displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{1}} является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений.

История

Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году. Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году, но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю и в 1905 году Давиду Гильберту.

Формулировки

Формулировка Гротендика

Каждое голоморфное векторное расслоение E {displaystyle {mathcal {E}}} над C P 1 {displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{1}} голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:

E ≅ O ( a 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ O ( a n ) , {displaystyle {mathcal {E}}cong {mathcal {O}}(a_{1})oplus cdots oplus {mathcal {O}}(a_{n}),}

где O ( a ) {displaystyle {mathcal {O}}(a)} обозначает расслоение с классом Черна a {displaystyle a} . Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.

Формулировка Биркгофа

Обратимая матрица M {displaystyle M} , каждая компонента которой является многочленом Лорана от z {displaystyle z} , представляется в виде произведения

M = M + M 0 M − {displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}} ,

где матрица M + {displaystyle M^{+}} — многочлен от z {displaystyle z} , M 0 {displaystyle M^{0}} — диагональная матрица, и матрица M − {displaystyle M^{-}} — многочлен от 1 z {displaystyle { frac {1}{z}}} .

Приложения

• Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.

Вариации и обобщения

• Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над P k 1 {displaystyle mathbb {P} _{k}^{1}} для любого поля k {displaystyle k} .