Показать меню

Простой модуль

18.12.2020
8

В теории колец, простой модуль (также используется название «неприводимый модуль») над кольцом R — это модуль над R, не имеющий ненулевых собственных подмодулей. Эквивалентно, модуль является простым тогда и только тогда, когда любой циклический модуль, порожденный одним его элементом (ненулевым элементом), совпадает со всем модулем. Простые модули служат для построения модулей конечной длины, в этом смысле они похожи на простые группы.

Примеры

  • Простой Z-модуль — это абелева группа, которая не имеет подгрупп, то есть группа простого порядка Zp.
  • Идеал I кольца R прост как модуль над этим кольцом тогда и только тогда, когда этот идеал минимален (не содержит других идеалов, кроме нулевого). Соответственно, факторкольцо R/I просто тогда и только тогда, когда идеал I максимален.
  • Любой простой R-модуль изоморфен фактормодулю R/m, где m — некоторый максимальный идеал кольца R. Действительно, простой модуль порождается ненулевым элементом x, то есть существует сюръективный гомоморфизм RM, отправляющий r в rx. Ядро этого гомоморфизма — идеал в кольце R, остается применить теорему о гомоморфизме. Предыдущее свойство показывает, что этот идеал максимален.
  • Если k — поле и G — группа, то представления этой группы — это в точности левые модули над групповым кольцом k[G]. Простые модули в данном контексте известны как неприводимые представления. Основная цель теории представлений — описание всех неприводимых представлений группы.

Свойства

Каждый простой модуль является неразложимым, обратное в общем случае неверно. Также простой модуль является циклическим.

Пусть M и N — модули над одним и тем же кольцом и f : MN — гомоморфизм модулей. Если M прост, то f либо является нулевым, либо инъективен. Действительно, ядро гомоморфизма должно быть подмодулем. Если же и N прост, то f либо нулевой, либо является изоморфизмом. Следовательно, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом. Этот результат известен как лемма Шура.

Теорема плотности Джекобсона

Важное достижение теории простых модулей — теорема Джекобсона о плотности (1945). Она утверждает, что

Пусть U — простой R-модуль, обзначим D = EndR(U). Пусть A — произвольный D-линейный оператор на U и X — конечное D-линейно независимое подмножество U. Тогда существует элемент r кольца R, такой что x·A = x·r для всех x в X.

Другими словами, всякое ненулевое простое кольцо, обладающее минимальными правыми идеалами, изоморфно плотному кольцу линейных преобразований конечного ранга некоторого векторного пространства над некоторым телом.

В частности, любое примитивное кольцо можно рассматривать как кольцо D-линейных операторов на некотором пространстве.

Из теоремы плостности следует теорема Веддербёрна о том, что правое артиново простое кольцо изоморфно кольцу матриц n на n над телом. Также она является следствием теоремы Артина — Веддербёрна о том, что полупростые кольца изоморфны произведению колец матриц.

Еще по этой теме:
Пост электрической централизации
23:50, 15 декабрь
Пост электрической централизации
Пост электрической централизации (пост ЭЦ) — помещение на железнодорожной станции (здание, транспортабельный модуль), в котором располагается комплекс технических средств для управления движением
Тяньхэ (модуль Китайской космической станции)
18:01, 13 декабрь
Тяньхэ (модуль Китайской космической станции)
Тяньхэ (кит. трад. 天和, буквально: «Млечный путь», Tianhe) — базовый модуль китайской модульной космической станции. Представляет собой центр управления станцией. К нему могут быть подстыкованы
Модуль центрифуг
14:01, 11 декабрь
Модуль центрифуг
Модуль центрифуг (Centrifuge Accommodations Module, CAM) — отменённый модуль Международной космической станции. Должен был обеспечивать проведение экспериментов по созданию искусственной гравитации.
Bigelow Expandable Activity Module
14:19, 09 декабрь
Bigelow Expandable Activity Module
Bigelow Expandable Activity Module (BEAM) — экспериментальный развёртываемый жилой модуль производства компании Bigelow Aerospace, предназначенный для размещения на Международной космической станции.
Конечное кольцо
21:26, 07 декабрь
Конечное кольцо
Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов (которое называется порядком кольца). Другими словами, это (непустое) конечное множество R
Кольцо Крулля
10:57, 02 декабрь
Кольцо Крулля
Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году. Кольца Крулля являются многомерным обобщением
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent