Показать меню

Пространство непрерывных функций

18.12.2020
18

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} функции (обычно обозначается C [ a , b ] {displaystyle {mathrm {C} }[a,b]} , иногда C 0 [ a , b ] {displaystyle C^{0}[a,b]} или C ( 0 ) [ a , b ] {displaystyle C^{(0)}[a,b]} или C ( a , b ) {displaystyle C(a,b)} ) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

| | x | | C [ a , b ] = max t ∈ [ a , b ] | x ( t ) | {displaystyle ||x||_{{mathbf {C} }[a,b]}=max _{tin [a,b]}|x(t)|}

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства

  • Если последовательность x n {displaystyle x_{n}} элементов из C [ a , b ] {displaystyle {mathrm {C} }[a,b]} сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции x ( t ) {displaystyle x(t)} , то x n ⇉ x {displaystyle x_{n} ightrightarrows x} при n → ∞ {displaystyle n o infty } .
    • Отсюда: C [ a , b ] {displaystyle {mathrm {C} }[a,b]} — банахово пространство.
  • Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
  • В C [ a , b ] {displaystyle {mathrm {C} }[a,b]} не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.

Вариации и обобщения

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) C ( X , Y ) {displaystyle C(X,Y)} называется множество всех непрерывных ограниченных функций x : X → Y {displaystyle x:X o Y} со введённой на нём нормой:

‖ x ‖ C ( X , Y ) = sup t ∈ X ‖ x ( t ) ‖ Y . {displaystyle |x|_{C(X,Y)}=sup _{tin X}|x(t)|_{Y}.}

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

‖ x ‖ = ∫ a b | x ( t ) | d t {displaystyle |x|=int limits _{a}^{b}|x(t)|,dt}

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность x n {displaystyle x_{n}}

x n ( t ) = { 1 , t ⩾ 1 n n t , t ∈ ( − 1 n , 1 n ) − 1 , t ⩽ − 1 n {displaystyle x_{n}(t)={egin{cases}1,quad tgeqslant {frac {1}{n}}nt,quad tin (-{frac {1}{n}},{frac {1}{n}})-1,quad tleqslant -{frac {1}{n}}end{cases}}}

Его пополнение есть L 1 [ a , b ] {displaystyle L_{1}[a,b]} — пространство суммируемых функций.

Еще по этой теме:
Уравнение состояния Барнера — Адлера
19:38, 16 декабрь
Уравнение состояния Барнера — Адлера
Уравнение Барнера — Адлера — многопараметрическое уравнение состояния, описывающее поведение насыщенного и слегка перегретого пара. Получено Барнером (H. E. Barner) и Адлером (S. B. Adler) в 1970
Нётерово пространство
01:20, 15 декабрь
Нётерово пространство
Нётерово пространство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств. То есть для каждой последовательности замкнутых
Гладкая функция
08:57, 13 декабрь
Гладкая функция
Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие
Существенно особая точка
14:44, 12 декабрь
Существенно особая точка
Изолированная особая точка z 0 {displaystyle z_{0}} функции f (
Тождество Якоби
10:05, 05 декабрь
Тождество Якоби
Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операции [ ⋅ , ⋅ ] : V × V
Максимальный тор
12:52, 03 декабрь
Максимальный тор
Максимальный тор связной вещественной группы Ли G {displaystyle G} — связная компактная коммутативная подгруппа Ли T
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent