Поверхность Цолля

Поверхность Цолля — 2-мерная сфера с римановой метрикой, для которой все геодезические являются замкнутыми и имеют одинаковую длину.

Названы в честь ученика Давида Гильберта Отто Цолля, обнаружившего первые нетривиальные примеры.

Примеры

Обычная сфера, очевидно, обладает этим свойством, но существует также бесконечномерное семейство деформаций этой метрики, называемых поверхностями Цолля. Из следующего утверждения следует, что существуют примеры поверхностей Цолля среди поверхностей вращения:

• Пусть h : [ − 1 , 1 ] → ( − 1 , 1 ) {displaystyle hcolon [-1,1] o (-1,1)} есть нечётной гладкая функция, такая, что h ( 1 ) = 0 {displaystyle h(1)=0} . Тогда сфера с метрикой ( 1 + h ( cos ⁡ r ) ) ⋅ ( d r ) 2 + sin ⁡ r ⋅ ( d θ ) 2 {displaystyle (1+h(cos r))cdot (dr)^{2}+sin rcdot (d heta )^{2}}

заданной в полярных координатах ( r , θ ) {displaystyle (r, heta )} есть поверхность Цолля.

Результат следует из существования явных интегралов геодезического потока для таких метрик.

Следующий результат даёт несимметричные примеры:

• Для любой нечётной гладкой функции f {displaystyle f} на единичной сфере ( S 2 , g 0 ) {displaystyle (mathbb {S} ^{2},g_{0})} существуют однопараметрическое семейство конформных факторов ϕ t {displaystyle phi _{t}} таких, что g t = ϕ t ⋅ g 0 {displaystyle g_{t}=phi _{t}cdot g_{0}} есть поверхность Цолля и f = ∂ ϕ t ∂ t | t = 0 {displaystyle f={ frac {partial phi _{t}}{partial t}}|_{t=0}} .

В доказательстве применяется обобщённая теорема о неявной функции, так называемая теорема Нэша — Мозера.