Показать меню

Поверхность Цолля

19.12.2020
18

Поверхность Цолля — 2-мерная сфера с римановой метрикой, для которой все геодезические являются замкнутыми и имеют одинаковую длину.

Названы в честь ученика Давида Гильберта Отто Цолля, обнаружившего первые нетривиальные примеры.

Примеры

Обычная сфера, очевидно, обладает этим свойством, но существует также бесконечномерное семейство деформаций этой метрики, называемых поверхностями Цолля. Из следующего утверждения следует, что существуют примеры поверхностей Цолля среди поверхностей вращения:

  • Пусть h : [ − 1 , 1 ] → ( − 1 , 1 ) {displaystyle hcolon [-1,1] o (-1,1)} есть нечётной гладкая функция, такая, что h ( 1 ) = 0 {displaystyle h(1)=0} . Тогда сфера с метрикой ( 1 + h ( cos ⁡ r ) ) ⋅ ( d r ) 2 + sin ⁡ r ⋅ ( d θ ) 2 {displaystyle (1+h(cos r))cdot (dr)^{2}+sin rcdot (d heta )^{2}}
заданной в полярных координатах ( r , θ ) {displaystyle (r, heta )} есть поверхность Цолля.

Результат следует из существования явных интегралов геодезического потока для таких метрик.

Следующий результат даёт несимметричные примеры:

  • Для любой нечётной гладкой функции f {displaystyle f} на единичной сфере ( S 2 , g 0 ) {displaystyle (mathbb {S} ^{2},g_{0})} существуют однопараметрическое семейство конформных факторов ϕ t {displaystyle phi _{t}} таких, что g t = ϕ t ⋅ g 0 {displaystyle g_{t}=phi _{t}cdot g_{0}} есть поверхность Цолля и f = ∂ ϕ t ∂ t | t = 0 {displaystyle f={ frac {partial phi _{t}}{partial t}}|_{t=0}} .

В доказательстве применяется обобщённая теорема о неявной функции, так называемая теорема Нэша — Мозера.

Еще по этой теме:
Эйлеровы числа
05:09, 18 декабрь
Эйлеровы числа
Эйлеровы числа (или числа Эйлера) — целые числа E 0 , E 1
Существенно особая точка
14:44, 12 декабрь
Существенно особая точка
Изолированная особая точка z 0 {displaystyle z_{0}} функции f (
Граф Кэли
19:23, 10 декабрь
Граф Кэли
Граф Кэли — граф, который строится по группе с выделенной системой образующих. Назван в честь Артура Кэли. Определение Пусть дана дискретная группа G
Распределение Скеллама
04:54, 09 декабрь
Распределение Скеллама
Распределение Скеллама — дискретное распределение вероятностей разности n 1 − n
Сингулярные гомологии
07:14, 06 декабрь
Сингулярные гомологии
Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.
Тождество Якоби
10:05, 05 декабрь
Тождество Якоби
Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операции [ ⋅ , ⋅ ] : V × V
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent