Показать меню

Седловая точка

19.12.2020
10

Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр «восьмерки», образованной соответствующими изолиниями.

Седловая точка в математическом анализе

Проверить, является ли данная стационарная точка функции F(x,y) двух переменных седловой, можно, вычислив матрицу Гессе функции в этой точке: если гессиан будет неопределенной квадратичной формой, то данная точка — седловая. Например, составив матрицу Гессе функции z = x 2 − y 2 {displaystyle z=x^{2}-y^{2}} в стационарной точке ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} получим матрицу:

[ 2 0 0 − 2 ] {displaystyle {egin{bmatrix}2&0&-2end{bmatrix}}}

которая является неопределенной. Поэтому, точка ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} данной функции — седловая. Однако вышеприведенный критерий предоставляет только достаточное условие наличия седловой точки. Например, ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} является седловой точкой функции z = x 4 − y 4 {displaystyle z=x^{4}-y^{4}} , но матрица Гессе в данном случае будет нулевой матрицей, которую, по определению, нельзя назвать неопределенной.

В общем случае, седловой точкой гладкой функции (график которой изображает кривую, поверхность или гиперповерхность) называется такая стационарная точка, в окрестности которой данная кривая/поверхность/гиперповерхность не лежит полностью по одну сторону касательного пространства в данной точке.

В случае функции одной переменной, седловая точка — такая точка, которая одновременно является и стационарной точкой, и точкой перегиба (точка перегиба не является локальным экстремумом).

Еще по этой теме:
Гладкая функция
08:57, 13 декабрь
Гладкая функция
Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие
Существенно особая точка
14:44, 12 декабрь
Существенно особая точка
Изолированная особая точка z 0 {displaystyle z_{0}} функции f (
Муниципальное образование «город Ангарск»
23:12, 11 декабрь
Муниципальное образование «город Ангарск»
Муниципальное образование «город Ангарск» (Ангарское муниципальное образование) — городское поселение в Ангарском районе Иркутской области Российской Федерации. Ангарское муниципальное образование со
Дзета-функция Дедекинда
07:29, 05 декабрь
Дзета-функция Дедекинда
Дзета-функция Дедекинда ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} — это
Касание
00:23, 03 декабрь
Касание
Касание — свойство двух линий или линии и поверхности иметь в некоторой точке общую касательную прямую или свойство двух поверхностей иметь в некоторой точке общую касательную плоскость. Точка в
Геостатистические методы
14:15, 13 март
Геостатистические методы
В основе геостатистических методов лежит теория регионализованных переменных (ТПР). В русскоязычной литературе описание этих методов можно найти в работах Л.А. Иванниковой, Е.В. Мироненко, Н.Г.
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent