Показать меню

G₂

27.12.2020
31

G2 в математике — название трёх простых групп Ли (комплексной, вещественной компактной и вещественной разделённой), связанной с ними алгебры Ли g 2 {displaystyle {mathfrak {g}}_{2}} , а также нескольких алгебраических групп. Являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли, рангом 2 и размерностью 14, с точными нетривиальными конечномерными линейными представлениями. Всего G2 имеет два фундаментальных представления размерностью 7 и 14, первое из которых отвечает короткому корню системы корней G2.

Компактная форма G2 является группой автоморфизмов алгебры октонионов (октав) или подгруппой группы SO(7), оставляющую на месте фиксированный 8-мерный спинор (в её спинорном представлении).

Реализации

Существуют 3 простые вещественные алгебры Ли, ассоционированные с данной системой корней:

  • Лежащая в основе комплексной алгебры Ли G2 сугубо действительная алгебра Ли 28-мерна и односвязна. Комплексное сопряжение является её внешним автоморфизмом. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с этой алгеброй группы и есть компактная форма G2.
  • Алгебра Ли в компактной форме имеет размерность 14. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра и является односвязной и компактной.
  • Алгебра Ли в некомпактной (разделённой) форме содержит 14 измерений. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу 2 порядка, а её группа внешних автоморфизмов — тривиальная группа. Её максимальная компактная подгруппа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для данной группы существует неалгебраическая двойная универсальная накрывающая группа (односвязная).

Алгебраические свойства

Схема Дынкина

Система корней G2

Несмотря на то, что корневые векторы можно разместить в 2-мерном пространстве, более симметричным выглядит их выражение тремя координатами, сумма которых равна нулю:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1), (0,1,−1), (0,−1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),

и простые положительные корневые вектора

(0,1,−1), (1,−2,1).

Группа Вейля/Кокстера

Для алгебры G2 это — группа диэдра D12 12 порядка.

Матрица Картана

( 2 − 3 − 1 2 ) {displaystyle {egin{pmatrix}2&-3-1&2end{pmatrix}}}

Специальные голономии

G2 — одна из тех специальных групп, которые могут быть группами голономии римановой метрики. Многообразия, обладающие G2-голономией, называются G2-многообразиями.

Еще по этой теме:
C*-алгебра
12:47, 19 декабрь
C*-алгебра
C*-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора. Частным случаем С*-алгебры является комплексная алгебра над полем A линейных непрерывных операторов на
Нормированная ассоциативная алгебра
16:52, 13 декабрь
Нормированная ассоциативная алгебра
Нормированная ассоциативная алгебра — ассоциативная алгебра над полем действительных или комплексных чисел, являющаяся нормированным пространством, где норма удовлетворяет условию
Универсальная алгебраическая геометрия
19:34, 09 декабрь
Универсальная алгебраическая геометрия
Универсальная алгебраическая геометрия (другое название — алгебраическая геометрия над алгебраическими системами) — направление в математике, изучающее связи между элементами алгебраической системы,
Куликов Леонид Яковлевич
02:01, 07 декабрь
Куликов Леонид Яковлевич
Леонид Яковлевич Куликов (2 ноября 1914 — 11 февраля 2001) — советский и российский математик, специалист по теории абелевых групп. Биография Родился в семье железнодорожника в Никитовке Донецкой
Тождество Якоби
10:05, 05 декабрь
Тождество Якоби
Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операции [ ⋅ , ⋅ ] : V × V
Максимальный тор
12:52, 03 декабрь
Максимальный тор
Максимальный тор связной вещественной группы Ли G {displaystyle G} — связная компактная коммутативная подгруппа Ли T
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent