G₂

G2 в математике — название трёх простых групп Ли (комплексной, вещественной компактной и вещественной разделённой), связанной с ними алгебры Ли g 2 {displaystyle {mathfrak {g}}_{2}} , а также нескольких алгебраических групп. Являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли, рангом 2 и размерностью 14, с точными нетривиальными конечномерными линейными представлениями. Всего G2 имеет два фундаментальных представления размерностью 7 и 14, первое из которых отвечает короткому корню системы корней G2.

Компактная форма G2 является группой автоморфизмов алгебры октонионов (октав) или подгруппой группы SO(7), оставляющую на месте фиксированный 8-мерный спинор (в её спинорном представлении).

Реализации

Существуют 3 простые вещественные алгебры Ли, ассоционированные с данной системой корней:

• Лежащая в основе комплексной алгебры Ли G2 сугубо действительная алгебра Ли 28-мерна и односвязна. Комплексное сопряжение является её внешним автоморфизмом. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с этой алгеброй группы и есть компактная форма G2.
• Алгебра Ли в компактной форме имеет размерность 14. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра и является односвязной и компактной.
• Алгебра Ли в некомпактной (разделённой) форме содержит 14 измерений. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу 2 порядка, а её группа внешних автоморфизмов — тривиальная группа. Её максимальная компактная подгруппа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для данной группы существует неалгебраическая двойная универсальная накрывающая группа (односвязная).

Алгебраические свойства

Схема Дынкина

Система корней G2

Несмотря на то, что корневые векторы можно разместить в 2-мерном пространстве, более симметричным выглядит их выражение тремя координатами, сумма которых равна нулю:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1), (0,1,−1), (0,−1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),

и простые положительные корневые вектора

(0,1,−1), (1,−2,1).

Группа Вейля/Кокстера

Для алгебры G2 это — группа диэдра D12 12 порядка.

Матрица Картана

( 2 − 3 − 1 2 ) {displaystyle {egin{pmatrix}2&-3-1&2end{pmatrix}}}

Специальные голономии

G2 — одна из тех специальных групп, которые могут быть группами голономии римановой метрики. Многообразия, обладающие G2-голономией, называются G2-многообразиями.