Показать меню

Мажоранта

27.12.2020
38

Мажоранта (от фр. majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения нескольких понятий, обобщающих понятие супремума или точной верхней грани. Наиболее часто применяется при доказательстве сходимости интегралов и рядов.

Мажоранта упорядоченного множества

Понятие мажоранты упорядоченного множества вводится для определения супремума множества. Пусть M подмножество упорядоченного множества. Тогда мажорантой множества M называется элемент не меньший любого элемента M. Супремум множества М — это минимум всех мажорант множества М.

Мажоранта функции

Мажоранта функции — функция, значения которой не меньше соответствующих значений данной функции на рассматриваемом интервале независимого переменного. Интегрируемость мажоранты последовательности интегрируемых функций является достаточным условием существования интеграла от предела последовательности.

Пример

Пусть интегрируемые функции f n ( x ) , n = 1 , 2 , . . . {displaystyle f_{n}(x),n=1,2,...} , имеют предел lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) {displaystyle lim _{n o infty }f_{n}(x)=f(x)} и существует интегрируемая мажоранта g ( x ) ≥ | f n ( x ) | , n = 1 , 2 , . . . {displaystyle g(x)geq |f_{n}(x)|,n=1,2,...} Тогда можно переходить к пределу под знаком интеграла:

lim n → ∞ ∫ − ∞ + ∞ f n ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ lim n → ∞ f n ( x ) d x {displaystyle lim _{n o infty }int limits _{-infty }^{+infty }f_{n}(x)dx=int limits _{-infty }^{+infty }lim _{n o infty }f_{n}(x)dx}

Мажоранта ряда

Мажоранта ряда — числовой ряд, все члены которого, начиная с некоторого номера, не меньше абсолютной величины соответствующих членов данного ряда. Если исходный ряд зависит от аргумента, например, является степенным или тригонометрическим, то указывают интервал, на котором выполняется неравенство. Для построения мажорант матричных рядов используют норму матрицы.

В качестве мажорант обычно используют простые хорошо сходящиеся ряды — одномерную и многомерную геометрическую прогрессию и ряды с факториалом в знаменателе членов. Из сходимости мажоранты вытекает сходимость исходного ряда. Для рядов, которые являются функциями, построение мажорант – основной инструмент доказательства сходимости.

Примерами являются доказательства теоремы Адамара о числовом ряде, леммы Абеля для рядов нескольких комплексных переменных и доказательство поточечной сходимости тригонометрического ряда.

Мажоранта класса

Понятие мажоранты можно ввести на любом множестве, если на нём задана числовая функция. Мажорантой класса или подмножества является элемент, значение функции на котором является супремумом значений функции на этом классе или подмножестве. Подобные определения вводятся для упрощения изложения.

Еще по этой теме:
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
21:30, 15 декабрь
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или
Множество Смита — Вольтерры — Кантора
09:07, 13 декабрь
Множество Смита — Вольтерры — Кантора
Множество Смита — Вольтерры — Кантора (СВК, толстое множество Кантора, ε {displaystyle varepsilon } -множество Кантора) — пример множества точек на
Гладкая функция
08:57, 13 декабрь
Гладкая функция
Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие
Носитель (кооперативная игра)
03:46, 05 декабрь
Носитель (кооперативная игра)
Носитель — подмножество множества игроков в кооперативной игре, которые вносят ненулевой вклад в некоторую коалицию. Формально носитель кооперативной игры определяется как: S
Категория множеств
10:38, 02 декабрь
Категория множеств
Категория множеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не
Обратный элемент
23:38, 01 декабрь
Обратный элемент
Обратный элемент — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения). Определения Пусть ( M
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent