Показать меню

Шестиугольный паркет

05.03.2021
9

Шестиугольный паркет (шестиугольный паркетаж) или шестиугольная мозаика — замощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне.

Шестиугольная мозаика является двойственной треугольной мозаике — если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольную мозаику. Символ Шлефли шестиугольного паркета — {6,3} (что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника), или t{3,6}, если мозаика рассматривается как усечённая треугольная.

Английский математик Конвей называл мозаику hextille (шестипаркет).

Внутренний угол шестиугольника равен 120 градусов, так что три шестиугольника в одной вершине дают вместе 360 градусов. Это одна из трёх правильных мозаик плоскости. Другие две мозаики — треугольный паркет и квадратный паркет.

Приложения

Замощение плоскости правильными шестиугольниками является основой для гекса, гексагональных шахмат и других игр на клетчатом поле, полигексов, вариантов модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов, кольцевых флексагонов и т.п.

Шестиугольная мозаика является наиболее плотным способом упаковки окружностей в двухмерном пространстве. Гипотеза о сотах утверждает, что шестиугольная мозаика является лучшим способом разбить поверхность на области равной площади с наименьшим суммарным периметром. Оптимальную трёхмерную структуру для сот (скорее, мыльных пузырей) исследовал лорд Кельвин, который верил, что структура Кельвина (или объёмно-центрированная кубическая решётка) оптимальна. Однако менее правильная структура Уаеаире – Фелана слегка лучше.

Эта структура существует в природе в виде графита, где каждый слой графена имеет сходство с проволочной сеткой, где роль проволоки играют сильные ковалентные связи. Были синтезированы трубчатые листы графена, они известны как углеродные нанотрубки. Они имеют много потенциальных приложений ввиду их высокой прочности на разрыв и электрических свойств. На графен похож силицен.

  • Наиболее плотная упаковка окружностей имеет структуру, подобную шестиугольной мозаике

  • Сетка в ограде для цыплят

  • Графен

  • Углеродные нанотрубки можно рассматривать как шестиугольную мозаику на цилиндрической поверхности

Шестиугольная мозаика появляется во многих кристаллах. В трёхмерном пространстве гранецентрированная кубическая структура и гексагональная плотноупакованная структура часто встречаются в кристаллах. Они являются наиболее плотными сферами в трёхмерном пространстве. Структурно они состоят из параллельных слоёв шестиугольной мозаики подобно структуре графита. Отличаются они тем, как уровни смещены относительно друг друга, при этом гранецентрированная кубическая структура является более правильной. Чистая медь, среди прочих материалов, образует гранецентрированную кубическую решётку.

Однородные раскраски

Существуют три различные однородные раскраски шестиугольной мозаики, все получаются из зеркальной симметрии построений Витхоффа. Запись (h,k) представляет периодическое повторение цветной плитки с шестиугольными расстояниями h и k.

3-цветная мозаика образуется перестановочным многогранником порядка 3.

Шестиугольная мозаика с фаской

Снятие фаски шестиугольной мозаики заменяет рёбра новыми шестиугольниками и преобразует в другую шестиугольную мозаику. В пределе исходные грани исчезают, а новые шестиугольники преобразуются в ромбы, превращая мозаику в ромбическую.

Связанные мозаики

Шестиугольники можно разбить на 6 треугольников. Это приводит к двум 2-однородным мозаикам, и треугольной мозаике:

Шестиугольную мозаику можно считать удлинённой ромбической мозаикой, в которой каждая вершина ромбической мозаики «растянута» с образованием нового ребра. Это похоже на связь замощений Ромбододекаэдром и ромбошестиугольным додекаэдром в трёхмерном пространстве.

Можно также разбить протоплитки некоторых шестиугольных мозаик на два, три, четыре, или девять одинаковых пятиугольников:

Варианты симметрии

Эта мозаика топологически связана с последовательностью правильных мозаик с шестиугольными гранями, которая начинается с шестиугольной мозаики. Мозаики бесконечной последовательности имеют символ Шлефли {6,n} и диаграмму Коксетера .

Шестиугольная мозаика топологически связана (как часть последовательности) с правильными многогранниками с вершинной фигурой n3.

Подобным образом мозаика связана с однородными усечёнными многогранниками с вершинной фигурой n.6.6.

Мозаика является также частью усечённых ромбических многогранников и мозаик с симметрией группы Коксетера [n,3]. Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором все ромбы есть квадраты. Усечённые формы имеют правильные n-угольники на месте усечённых вершин и неправильные шестиугольные грани.

Построение Витхоффа из шестиугольных и треугольных мозаик

Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик, базирующихся на правильных шестиугольных мозаиках (или на двойственных треугольных мозаиках).

Если нарисовать плитки исходных граней красным, исходные вершины (получившиеся на их месте многоугольники) жёлтым, а исходные рёбра (получившиеся на их месте многоугольники) — синим, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Моноэдральные выпуклые шестиугольные мозаики

Существует 3 типа моноэдральных выпуклых шестиугольных мозаик. Все они изоэдральны. Каждая имеет параметрические варианты с фиксированной симметрией. Тип 2 содержит скользящие симметрии и сохраняет хиральные пары различными.

Топологически эквиваленные мозаики

Шестиугольные мозаики могут быть идентичны {6,3} топологии правильной мозаики (3 шестиугольника в каждой вершине). Существует 13 вариантов шестиугольной мозаики с изоэдральными гранями. С точки зрения симметрии все грани имеют одинаковый цвет, раскраска же на рисунках представляет положение в сетке. Одноцветные (1-плиточные) сетки состоят из шестиугольных параллелогонов.

Другие топологически изоэдральные шестиугольные мозаики выглядят как четырёхугольные и пятиугольные, не соприкасающиеся сторона-к-стороне, но многоугольники которых можно рассматривать как имеющие коллинеарные смежные стороны:

2-однородные и 3-однородные замощения имеют вращательную степень свободы, которая искривляет 2/3 шестиугольников, включая случай коллинеарности сторон, что можно видеть как мозаики шестиугольников и больших треугольников с несовпадающими сторонами (не сторона-к-стороне).

Мозаика может быть искривлена до хиральных 4-цветных переплетённых в трёх направлениях узоров, с превращением некоторых шестиугольников в параллелограммы. Переплетённые узоры с 2 цветными гранями имеют вращательную симметрию 632 (p6).

Упаковка кругов

Шестиугольную мозаику можно использовать для упаковки кругов, разместив круги одинакового радиуса с центрами в вершинах мозаики. Каждый круг соприкасается с 3 другими кругами упаковки (контактное число). Круги можно закрасить двумя цветами. Пространство внутри каждого шестиугольника позволяет поместить один круг, создавая наиболее плотную упаковку треугольной мозаики, в которой каждый круг соприкасается с максимально возможным числом кругов (6).

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 2 правильных комплексных апейрогона, имеющиx те же вершины шестиугольной мозаики. Рёбра правильных комплексных апейрогонов могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r имеют ограничение: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин и вершинные фигуры являются r-угольниками.

Первый апейрогон состоит из 2-рёбер, по три вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные рёбра, по три вокруг каждой вершины. Третий комплексный апейрогон, имеющий те же самые вершины, квазиправилен и в нём чередуются 2-рёбра и 6-рёбра.

Еще по этой теме:
Как самостоятельно справиться с проблемами паркетных полов
15:08, 26 август
Как самостоятельно справиться с проблемами паркетных полов
Паркетные полы обладают целым списком серьезных практических преимуществ. Но, чтобы служили они по-настоящему хорошо, важно помнить и о возможных проблемах, появляющихся по мере их эксплуатации.
Работы по ремонту паркета
18:09, 16 март
Работы по ремонту паркета
Ровные и аккуратные полы — это залог успеха любого помещения. Паркет является одним из самых распространенных и многофункциональным напольным покрытием. Ознакомиться с каталогом услуг по ремонту
Использование штучного паркета для отделки пола
21:15, 20 декабрь
Использование штучного паркета для отделки пола
Штучный паркет является красивым покрытием для пола, которое может прослужить не одно десятилетие. Это оптимальное решение для оформления жилых помещений – детской комнаты, спальни, а также зала. По
Мозаика в интерьере
22:45, 12 декабрь
Мозаика в интерьере
Мозаика — облицовочный материал, которому уже не одна тысяча лет, но, несмотря на это, мозаика не теряет своей актуальности и применяется в отделке разного вида помещений.
Укладка модульного паркета
21:09, 02 июль
Укладка модульного паркета
Модульные или, как его ещё нередко называют, щитовой паркет на территории нашего государства возник не так давно и в максимально сжатые сроки он пользовался спросом среди покупателей. Сборкой
Деревянная мозаика для отделки поверхностей
22:16, 11 июнь
Деревянная мозаика для отделки поверхностей
Мозаика в качестве материала для отделки сегодня пользуется значительным спросом. С её помощью отделывают разного рода поверхности. Она позволяет передать разные стилистические концепции оформления.
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent