Показать меню

Биекция

25.03.2021
40

Биекция — отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют также взаимно однозначным отображением (соответствием) или одно-однозначным отображением.

Биективное отображение, являющееся гомоморфизмом, называют изоморфным соответствием.

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно однозначное отображение конечного множества на себя называется перестановкой (или подстановкой) элементов этого множества.

Формально, функция f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} называется биекцией (и обозначается f : X ↔ Y {displaystyle fcolon Xleftrightarrow Y} ), если она:

  • переводит разные элементы множества X {displaystyle X} в разные элементы множества Y {displaystyle Y} (инъективность): ∀ x 1 ∈ X , ∀ x 2 ∈ X x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) {displaystyle forall x_{1}in X,;forall x_{2}in X;x_{1} eq x_{2}Rightarrow f(x_{1}) eq f(x_{2})} .
  • любой элемент из Y {displaystyle Y} имеет свой прообраз (сюръективность): ∀ y ∈ Y , ∃ x ∈ X f ( x ) = y {displaystyle forall yin Y,;exists xin X;f(x)=y} .

Примеры:

  • Тождественное отображение i d : X → X {displaystyle mathrm {id} colon X o X} на множестве X {displaystyle X} биективно.
  • f ( x ) = x , f ( x ) = x 3 {displaystyle f(x)=x,;f(x)=x^{3}} — биективные функции из R {displaystyle mathbb {R} } в себя; вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из R {displaystyle mathbb {R} } в себя.
  • f ( x ) = e x {displaystyle f(x)=e^{x}} — биективная функция из R {displaystyle mathbb {R} } в R + = ( 0 , + ∞ ) {displaystyle mathbb {R} _{+}=(0,;+infty )} .
  • f ( x ) = sin ⁡ x {displaystyle f(x)=sin x} не является биективной функцией, если считать её определённой на всём R {displaystyle mathbb {R} } .
  • Строго монотонная и непрерывная функция f ( x ) {displaystyle f(x)} является биекцией из отрезка [ a , b ] {displaystyle [a,b]} на отрезок [ f ( a ) , f ( b ) ] {displaystyle [f(a),f(b)]} .

Функция f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция f − 1 : Y → X {displaystyle f^{-1}colon Y o X} такая, что:

∀ x ∈ X f − 1 ( f ( x ) ) = x {displaystyle forall xin X;f^{-1}(f(x))=x} и ∀ y ∈ Y f ( f − 1 ( y ) ) = y . {displaystyle forall yin Y;f(f^{-1}(y))=y.}

Если функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} биективны, то и композиция функций g ∘ f {displaystyle gcirc f} биективна, в этом случае ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 {displaystyle (gcirc f)^{-1}=f^{-1}circ g^{-1}} , то есть, композиция биекций является биекцией. Обратное в общем случае неверно: если g ∘ f {displaystyle gcirc f} биективна, то можно лишь утверждать, что f {displaystyle f} инъективна, а g {displaystyle g} сюръективна.

Еще по этой теме:
Мажоранта
13:00, 27 декабрь
Мажоранта
Мажоранта (от фр. majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения нескольких понятий, обобщающих понятие супремума или точной верхней грани. Наиболее часто
Аффинное преобразование
20:44, 08 декабрь
Аффинное преобразование
Аффинное преобразование, иногда Афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят
Глоссарий общей топологии
15:51, 07 декабрь
Глоссарий общей топологии
В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария. А Антидискретная топология Топология на пространстве
Сингулярные гомологии
07:14, 06 декабрь
Сингулярные гомологии
Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.
Инвариантная мера
19:01, 04 декабрь
Инвариантная мера
Инвариантная мера — в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической
Категория множеств
10:38, 02 декабрь
Категория множеств
Категория множеств — категория, объекты которой — множества, а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B. Обозначается Set. В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent