Биекция

Биекция — отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют также взаимно однозначным отображением (соответствием) или одно-однозначным отображением.

Биективное отображение, являющееся гомоморфизмом, называют изоморфным соответствием.

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно однозначное отображение конечного множества на себя называется перестановкой (или подстановкой) элементов этого множества.

Формально, функция f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} называется биекцией (и обозначается f : X ↔ Y {displaystyle fcolon Xleftrightarrow Y} ), если она:

• переводит разные элементы множества X {displaystyle X} в разные элементы множества Y {displaystyle Y} (инъективность): ∀ x 1 ∈ X , ∀ x 2 ∈ X x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) {displaystyle forall x_{1}in X,;forall x_{2}in X;x_{1} eq x_{2}Rightarrow f(x_{1}) eq f(x_{2})} .
• любой элемент из Y {displaystyle Y} имеет свой прообраз (сюръективность): ∀ y ∈ Y , ∃ x ∈ X f ( x ) = y {displaystyle forall yin Y,;exists xin X;f(x)=y} .

Примеры:

• Тождественное отображение i d : X → X {displaystyle mathrm {id} colon X o X} на множестве X {displaystyle X} биективно.
• f ( x ) = x , f ( x ) = x 3 {displaystyle f(x)=x,;f(x)=x^{3}} — биективные функции из R {displaystyle mathbb {R} } в себя; вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из R {displaystyle mathbb {R} } в себя.
• f ( x ) = e x {displaystyle f(x)=e^{x}} — биективная функция из R {displaystyle mathbb {R} } в R + = ( 0 , + ∞ ) {displaystyle mathbb {R} _{+}=(0,;+infty )} .
• f ( x ) = sin ⁡ x {displaystyle f(x)=sin x} не является биективной функцией, если считать её определённой на всём R {displaystyle mathbb {R} } .
• Строго монотонная и непрерывная функция f ( x ) {displaystyle f(x)} является биекцией из отрезка [ a , b ] {displaystyle [a,b]} на отрезок [ f ( a ) , f ( b ) ] {displaystyle [f(a),f(b)]} .

Функция f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция f − 1 : Y → X {displaystyle f^{-1}colon Y o X} такая, что:

∀ x ∈ X f − 1 ( f ( x ) ) = x {displaystyle forall xin X;f^{-1}(f(x))=x} и ∀ y ∈ Y f ( f − 1 ( y ) ) = y . {displaystyle forall yin Y;f(f^{-1}(y))=y.}

Если функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} биективны, то и композиция функций g ∘ f {displaystyle gcirc f} биективна, в этом случае ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 {displaystyle (gcirc f)^{-1}=f^{-1}circ g^{-1}} , то есть, композиция биекций является биекцией. Обратное в общем случае неверно: если g ∘ f {displaystyle gcirc f} биективна, то можно лишь утверждать, что f {displaystyle f} инъективна, а g {displaystyle g} сюръективна.