Показать меню

Теорема Миттаг-Леффлера

18.04.2021
22

Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби.

Теорема

Пусть мероморфная функция f ( z ) {displaystyle f(z)} имеет в точках z = a k , | a 1 | ⩽ | a 2 | ⩽ … ⩽ | a k | ⩽ … {displaystyle z=a_{k},|a_{1}|leqslant |a_{2}|leqslant ldots leqslant |a_{k}|leqslant ldots } полюсы с главными частями g k ( 1 z − a k ) = G k ( z ) {displaystyle g_{k}({frac {1}{z-a_{k}}})=G_{k}(z)} и пусть h k ( p ) = G k ( 0 ) + G k 1 ( 0 ) z + … + G k ( p ) ( 0 ) p ! z p {displaystyle h_{k}^{(p)}=G_{k}(0)+G_{k}^{1}(0)z+ldots +{frac {G_{k}^{(p)}(0)}{p!}}z^{p}} будут отрезки тейлоровских разложений g k ( 1 z − a k ) {displaystyle g_{k}left({frac {1}{z-a_{k}}} ight)} по степеням z {displaystyle z} . Тогда существует такая последовательность целых чисел p k {displaystyle p_{k}} и такая целая функция f 0 ( z ) {displaystyle f_{0}(z)} , что для всех z ≠ a k {displaystyle z eq a_{k}} имеет место разложение f ( z ) = f 0 ( z ) + ∑ k = 1 ∞ { g k ( 1 z − a k ) − h k p k ( z ) } {displaystyle f(z)=f_{0}(z)+sum _{k=1}^{infty }left{g_{k}left({frac {1}{z-a_{k}}} ight)-h_{k}^{p_{k}}(z) ight}} , абсолютно и равномерно сходящееся в любом конечном круге | z | ⩽ A {displaystyle |z|leqslant A} .

Следствие

Любая мероморфная функция f ( z ) {displaystyle f(z)} представима в виде суммы ряда f ( z ) = h ( z ) + ∑ n = 0 ∞ ( g n ( z ) − P n ( z ) ) {displaystyle f(z)=h(z)+sum _{n=0}^{infty }left(g_{n}(z)-P_{n}(z) ight)} , где h {displaystyle h} — целая функция, g n {displaystyle g_{n}} — главные части лорановских разложений в полюсах f ( z ) {displaystyle f(z)} , занумерованных по возрастанию их модулей, и P n {displaystyle P_{n}} — некоторые многочлены.

Еще по этой теме:
Неравенство Маркова
06:00, 03 апрель
Неравенство Маркова
Неравенство Маркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что неотрицательная случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
21:30, 15 декабрь
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или
Гладкая функция
08:57, 13 декабрь
Гладкая функция
Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие
Существенно особая точка
14:44, 12 декабрь
Существенно особая точка
Изолированная особая точка z 0 {displaystyle z_{0}} функции f (
Теорема Бондаревой — Шепли
20:24, 03 декабрь
Теорема Бондаревой — Шепли
В теории игр теорема Бондаревой — Шепли описывает необходимые и достаточные условия для непустоты ядра в кооперативной игре. В частности, ядро игры непусто тогда и только тогда, когда игра
Вариационный ряд
08:23, 03 декабрь
Вариационный ряд
Вариационный ряд (упорядоченная выборка) — последовательность X ( 1 ) ⩽
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent