Показать меню

Инвариант (математика)

12.05.2021
32

Инвариант — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа.

Определение

Пусть A {displaystyle A} — множество и G {displaystyle G} — множество отображений из A в A. Отображение f из множества A в множество B называется инвариантом для G, если для любых a ∈ A {displaystyle ain A} и g ∈ G {displaystyle gin G} выполняется тождество f ( a ) = f ( g ( a ) ) {displaystyle f(a)=f(g(a))} .

Инварианты используются в различных областях математики, таких как геометрия, топология и алгебра. Открытие инвариантов является важным шагом в процессе классификации математических объектов.

Примеры

  • Площадь треугольника является инвариантом по отношению к изометриям евклидова пространства.
  • Мощность множества является инвариантом относительно биекций.
  • Определитель, след, собственные вектора и собственные значения матрицы инвариантны относительно выбора базиса.
  • В теории дифференциальных уравнений инвариантом называется функция, зависящая от искомой функции, значение которой постоянно (первый интеграл).
  • Мера Лебега инвариантна относительно сдвигов.
  • Сингулярные числа матрицы инвариантны относительно ортогональных преобразований.
  • Теория инвариантов занимается поиском инвариантных многочленов (или просто «инвариантов») и изучением образованной ими алгебры для случая линейных представлений алгебраических групп, а также действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
  • Топологический инвариант — см. Словарь терминов общей топологии.
  • Задачи на инвариант представляют собой большой класс задач в олимпиадной математике.
  • Число Хадвигера и хроматическое число являются инвариантами графа при перенумерации его вершин.
  • Инвариант эллиптической кривой — число J ( E ) = 1728 4 a 3 4 a 3 + 27 b 2 ( mod p ) {displaystyle J(E)=1728{frac {4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}}{pmod {p}}} . См. ГОСТ 34.10-2018.
Еще по этой теме:
Биекция
13:00, 25 март
Биекция
Биекция — отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества,
Пространство непрерывных функций
19:13, 18 декабрь
Пространство непрерывных функций
Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [ a , b ]
Граф Кэли
19:23, 10 декабрь
Граф Кэли
Граф Кэли — граф, который строится по группе с выделенной системой образующих. Назван в честь Артура Кэли. Определение Пусть дана дискретная группа G
Вязкостное решение
04:18, 06 декабрь
Вязкостное решение
Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения. Определения Вырожденное эллиптическое
Тождество Якоби
10:05, 05 декабрь
Тождество Якоби
Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операции [ ⋅ , ⋅ ] : V × V
Обратный элемент
23:38, 01 декабрь
Обратный элемент
Обратный элемент — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения). Определения Пусть ( M
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent