Показать меню

Многочлены Шура

26.05.2021
26

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от n {displaystyle n} переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму n {displaystyle n} неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем n {displaystyle n} столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы S n {displaystyle S_{n}} .

Формальное определение

Многочлен Шура степени d {displaystyle d} , соответствующий разбиению d = d 1 + ⋯ + d n , d 1 ≥ ⋯ ≥ d n ≥ 0 , {displaystyle d=d_{1}+dots +d_{n},quad d_{1}geq dots geq d_{n}geq 0,} равен

s ( d 1 , … , d n ) ( x 1 , … , x n ) = det ( x i d j + n − j ) i , j = 1 n det ( x i n − j ) i , j = 1 n . {displaystyle s_{(d_{1},dots ,d_{n})}(x_{1},dots ,x_{n})={frac {det(x_{i}^{d_{j}+n-j})_{i,j=1}^{n}}{det(x_{i}^{n-j})_{i,j=1}^{n}}}.}

Связь с представлениями симметрической группы

Многочлен Шура s λ ( x 1 , … , x n ) {displaystyle s_{lambda }(x_{1},dots ,x_{n})} , соответствующий диаграмме Юнга λ = ( λ 1 , … , λ n ) {displaystyle lambda =(lambda _{1},dots ,lambda _{n})} , выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона p k ( x 1 , … , x n ) = ∑ j x j k {displaystyle p_{k}(x_{1},dots ,x_{n})=sum _{j}x_{j}^{k}} с коэффициентами, выражающимися через значения характера χ λ {displaystyle chi _{lambda }} соответствующего λ {displaystyle lambda } представления симметрической группы S n {displaystyle S_{n}} . А именно,

s λ = ∑ ρ = ( 1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , … ) χ λ ( ρ ) ⋅ ∏ k p k r k r k ! , {displaystyle s_{lambda }=sum _{ ho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},dots )}chi ^{lambda }( ho )cdot prod _{k}{frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!}},}

где запись ρ = ( 1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , … ) {displaystyle ho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},dots )} означает, что в классе сопряжённости ρ {displaystyle ho } в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется r j {displaystyle r_{j}} циклов длины j {displaystyle j} .

Еще по этой теме:
Теорема Миттаг-Леффлера
13:00, 18 апрель
Теорема Миттаг-Леффлера
Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие
Теорема Гротендика о расщеплении
15:52, 18 декабрь
Теорема Гротендика о расщеплении
Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над
Существенно особая точка
14:44, 12 декабрь
Существенно особая точка
Изолированная особая точка z 0 {displaystyle z_{0}} функции f (
Граф Кэли
19:23, 10 декабрь
Граф Кэли
Граф Кэли — граф, который строится по группе с выделенной системой образующих. Назван в честь Артура Кэли. Определение Пусть дана дискретная группа G
Алгебраическая теория чисел
14:00, 08 декабрь
Алгебраическая теория чисел
Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей. В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве
Максимальный тор
12:52, 03 декабрь
Максимальный тор
Максимальный тор связной вещественной группы Ли G {displaystyle G} — связная компактная коммутативная подгруппа Ли T
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent