Показать меню

Весьма избыточное число

05.09.2021
33

Весьма избыточное число или высокоизбыточное число — это натуральное число, сумма делителей которого (включая само число) больше суммы делителей любого меньшего натурального числа.

Высокоизбыточные числа и некоторые подобные классы чисел ввёл Пиллай, а раннюю работу на эту тему сделали Алаоглу и Эрдёш. Алаоглу и Эрдёш перечислили все высокоизбыточные числа вплоть до 104 и показали, что число высокоизбыточных чисел, меньших N, по меньшей мере пропорционально log2 N.

Формальное определение и примеры

Формально, натуральное число n называется весьма избыточным тогда и только тогда, когда для всех натуральных чисел m < n

σ ( n ) > σ ( m ) {displaystyle sigma (n)>sigma (m)} ,

где σ означает функцию «сумма делителей». Несколько первых высокоизбыточных чисел

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... (последовательность A002093 в OEIS).

Например, 5 не высокоизбыточно, поскольку σ(5) = 5+1 = 6 меньше, чем σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, в то время как 8 высокоизбыточно, поскольку σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 больше, чем все предыдущие значения σ.

Кроме чисел 1 и 3, других высокоизбыточных нечётных чисел нет

Связь с другими множествами чисел

Хотя первые восемь факториалов являются высокоизбыточными, таковыми будут не все факториалы. Например,

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

но существует меньшее число с большей суммой делителей,

σ(360360) = 1572480,

так что 9! не высокоизбыточно.

Алаоглу и Эрдёш заметили, что все суперизбыточные числа являются высокоизбыточными, и поставили вопрос, существует ли бесконечное число высокоизбыточных чисел, не являющихся суперизбыточными. На этот вопрос утвердительно ответил Жан-Луис Николас.

Вопреки терминологии, не все высокоизбыточные числа являются избыточными. В частности, ни одно из семи первых высокоизбыточных чисел не является избыточным.

7200 является наибольшим полнократным числом, являющимся одновременно высокоизбыточным, все большие высокоизбыточные числа имеют простой множитель, делящий число только однократно. По той же причине 7200 является наибольшим высокоизбыточным числом с нечётной суммой делителей.

Еще по этой теме:
Порядок числа по модулю
20:08, 18 декабрь
Порядок числа по модулю
Показателем, или мультипликативным порядком, целого числа a {displaystyle a} по модулю m {displaystyle m}
Цепь Каннингема
11:22, 17 декабрь
Цепь Каннингема
Цепь Каннингема (цепь почти удвоенных чисел) — последовательность простых чисел определённого вида, названо в честь математика Алана Каннингема. Цепь Каннингема первого рода длины n — это
123 (число)
08:12, 12 декабрь
123 (число)
123 (сто двадцать три) — натуральное число, расположенное между числами 122 и 124. Оно не является простым числом, а относительно последовательности простых чисел расположено между 113 и 127. 123
Алгебраическая теория чисел
14:00, 08 декабрь
Алгебраическая теория чисел
Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей. В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве
Число Онезорге
10:48, 04 декабрь
Число Онезорге
Число Онезорге (Oh) — критерий подобия в гидродинамике, аналогичный числу Лапласа, и равный отношению вязкостных сил к силам поверхностного натяжения и инерции. Его можно выразить как:
Квадратное треугольное число
05:27, 02 декабрь
Квадратное треугольное число
В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail: