Показать меню

Теория оценивания

14.09.2021
28

Теория оценивания — раздел математической статистики, решающий задачи оценивания непосредственно не наблюдаемых параметров сигналов или объектов наблюдения на основе наблюдаемых данных. Для решения задач оценивания применяется параметрический и непараметрический подход. Параметрический подход используется, когда известна математическая модель исследуемого объекта и характер возмущений и требуется лишь определить в ней неизвестные параметры. В этом случае используются метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод моментов. Непараметрический подход используется для изучения объектов неизвестной структуры и с неизвестными возмущениями. Теория оценивания применяется в приборах для физических и других измерений, при моделировании физических, экономических, биологических и других процессов.

Параметрический подход

Постановка задачи

Пусть данные наблюдения x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) {displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})} являются случайными величинами с совместной плотностью распределения вероятностей P ( x ∣ λ ) {displaystyle P(xmid lambda )} , зависящей от информативных параметров λ 1 , λ 2 , . . . , λ m {displaystyle lambda _{1},lambda _{2},...,lambda _{m}} с неизвестными значениями: P ( x ∣ λ ) = P ( x 1 , x 2 , . . . , x n ∣ λ 1 , λ 2 , . . . , λ m ) {displaystyle P(xmid lambda )=P(x_{1},x_{2},...,x_{n}mid lambda _{1},lambda _{2},...,lambda _{m})} . Задача оценивания заключается в нахождении оценок информативных параметров λ ^ = ( λ 1 ^ , λ 2 ^ , . . . , λ m ^ ) {displaystyle {hat {lambda }}=({hat {lambda _{1}}},{hat {lambda _{2}}},...,{hat {lambda _{m}}})} в виде функций, задающих стратегии нахождения оценок по наблюдениям: λ j ^ = λ j ^ ( x ) , j = 1 , 2 , . . . , m {displaystyle {hat {lambda _{j}}}={hat {lambda _{j}}}(x),j=1,2,...,m} .

Байесовский подход

Оцениваемые параметры являются случайными величинами с совместной предварительно известной априорной плотностью вероятности z ( λ ) {displaystyle z(lambda )} . Для минимизации ошибок оценивания вводится функция потерь g ( λ ^ , λ ) {displaystyle g({hat {lambda }},lambda )} , зависящая от оценок λ ^ {displaystyle {hat {lambda }}} и истинных значений λ {displaystyle lambda } оцениваемых параметров. В этом случае целью является минимизация математического ожидания функции потерь - среднего риска: R ( λ ^ ) = ∫ g ( λ ^ , λ ) φ ( λ ^ ∣ x ) P ( x ∣ λ ) z ( λ ) d x d λ d λ ^ {displaystyle R({hat {lambda }})=int g({hat {lambda }},lambda )varphi ({hat {lambda }}mid x)P(xmid lambda )z(lambda )dxdlambda d{hat {lambda }}} . Здесь φ ( λ ^ ∣ x ) {displaystyle varphi ({hat {lambda }}mid x)} - условная плотность вероятности принятия решения об оценке λ ^ {displaystyle {hat {lambda }}} при данных наблюдения x {displaystyle x} .

Непараметрический подход

В этом случае класс вероятностных распределений не может быть описан с помощью конечного числа параметров. В этом случае оптимальные оценки определяются как функционалы от распределений вероятностей наблюдения.

Примеры

  • В радиолокаторе для определения расстояния до объекта необходимо оценить промежуток времени между моментами передачи и приема радиолокационного сигнала, отраженного от объекта наблюдения. В этом случае информативными параметрами являются амплитуда, частота, временной сдвиг относительно выбранного момента времени. Эти параметры желательно оценить с минимальной ошибкой.
Еще по этой теме:
Лисичанская многопрофильная гимназия
00:59, 11 декабрь
Лисичанская многопрофильная гимназия
Лисичанская многопрофильная гимназия — учреждение среднего образования в городе Лисичанске Луганской области Украины. Профили: история биология химия математика английский язык французский язык
Эволюционно-симулятивный метод
09:43, 08 декабрь
Эволюционно-симулятивный метод
Эволюционно-симулятивный метод (ЭСМ) — метод моделирования равновесных случайных процессов и принятия решений в условиях неопределенности. ЭСМ успешно применяется в экономике и физике. Общие
Функционально-параметрический регрессионный метод (часть 1)
14:34, 13 март
Функционально-параметрический регрессионный метод (часть 1)
Принимая во внимание, что первый тип физически обоснованной модели используется для предсказания гидрологических характеристик на основе физических принципов, второй и третий типы основаны только на
Функционально-параметрический регрессионный метод (часть 2)
14:34, 13 март
Функционально-параметрический регрессионный метод (часть 2)
Существует также два способа оценки параметров математических уравнений с помощью ПТФ: 1. Представление обобщенных параметров гидрофизических характеристик, группируя по какому-либо почвенному
Функционально-параметрический регрессионный метод (часть 3)
14:34, 13 март
Функционально-параметрический регрессионный метод (часть 3)
Более точно рассчитать гидрофизические характеристики почвы удается по регрессионным уравнениям, полученным для разных горизонтов на конкретных типах почв. Примеры таких уравнений для почв России
Метод тренда (полиномов)
14:15, 13 март
Метод тренда (полиномов)
Метод тренда определяет поверхность, соответствующую опорным точкам, через регрессионное уравнение. Регрессионное уравнение представляет собой зависимость изучаемого показателя от координат х,у.
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail: