Показать меню

Окружность Аполлония

02.12.2020
113

Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Определение

Пусть на плоскости даны две точки A {displaystyle A} и B {displaystyle B} . Рассмотрим все точки P {displaystyle P} этой плоскости, для каждой из которых отношение

k = P A P B {displaystyle k={frac {PA}{PB}}}

есть фиксированное положительное число. При k = 1 {displaystyle k=1} эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку A B {displaystyle AB} ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Замечания

  • Точки A {displaystyle A} и B {displaystyle B} называются фокусами окружности Аполлония.

Свойства

  • Радиус окружности Аполлония равен R = k | k 2 − 1 | ⋅ A B . {displaystyle R={frac {k}{|k^{2}-1|}}cdot AB.}
  • Отрезок P C {displaystyle PC} между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой A B {displaystyle AB} является биссектрисой самого угла ∠ A P B {displaystyle angle APB} или угла, смежного с ним.
  • Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки A {displaystyle A} и B {displaystyle B} местами.
  • Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствах

  • Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.
  • Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.
  • Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.

Приложения

  • Часто используется в анализе построений с помощью циркуля и линейки. В частности одно из решений задачи Брахмагупты основано на построении окружности Аполлония.
  • Окружность Аполлония находит применение при решении задачи сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.
Еще по этой теме:
Обратный элемент
23:38, 01 декабрь
Обратный элемент
Обратный элемент — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения). Определения Пусть ( M
Вращение Земли вокруг оси
20:28, 15 июнь
Вращение Земли вокруг оси
Земля, вращаясь с запада на восток (если смотреть на нее со стороны Северного полюса), совершает полный оборот вокруг оси за 24 часа. Угловая скорость вращения всех точек Земли при этом одинакова
Простой сдвиг тела
14:23, 13 март
Простой сдвиг тела
Пусть имеется гипсовая модель шара (рис. XVI.2), рассеченная на тонкие параллельные слои (а). В случае приложения нагрузки сфера примет форму трехосного эллипсоида (б). Каждый слой переместится в
Представление в виде функциональной поверхности (часть 2)
14:15, 13 март
Представление в виде функциональной поверхности (часть 2)
Различные методы интерполяции почти всегда будут давать различные результаты. Все методы интерполяции можно разбить на два класса: точные интерполяторы и сглаживающие интерполяторы. Некоторые
Метод треугольной нерегулярной сети
14:15, 13 март
Метод треугольной нерегулярной сети
Детерминистские методы могут быть разделены на две группы: глобальные и локальные. Глобальные методы при описании поверхности используют весь набор данных, локальные методы используют опорные точки,
Метод обратных взвешенных расстояний и радиальных базисных функций
14:15, 13 март
Метод обратных взвешенных расстояний и радиальных базисных функций
Примером детерминистских методов является также метод обратных взвешенных расстояний (IDW). Метод не позволяет выявить структуру варьирования признака, но может служить для точной интерполяции. В
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent