Показать меню

Формула Резерфорда

02.12.2020
141

Формула Резерфóрда — формула для дифференциального эффективного поперечного сечения рассеяния нерелятивистских заряженных частиц в телесный угол Ω в кулоновском поле другой неподвижной заряженной частицы или ядра (мишени). Подтверждена эмпирически Э. Резерфордом в 1911 году в опытах по рассеянию α-частиц на тонкой золотой фольге субмикронной толщины. В системе центра инерции налетающей и рассеивающей частиц записывается следующим образом:

d σ d Ω = ( Z 1 Z 2 e 2 2 m v 2 ) 2 1 sin 4 ⁡ Θ 2 {displaystyle {frac {dsigma }{dOmega }}=left({frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{2mv^{2}}} ight)^{2}{frac {1}{sin ^{4}{frac {Theta }{2}}}}}

где Z 1 {displaystyle Z_{1}} и Z 2 {displaystyle Z_{2}} — заряды налетающей частицы и мишени, m , v {displaystyle m,v} — масса и скорость налетающей частицы, Θ {displaystyle Theta } — двумерный угол рассеяния, e {displaystyle e} — элементарный заряд, d σ {displaystyle dsigma } — дифференциальное сечение[прояснить], Ω {displaystyle Omega } — телесный угол.

Рассеяние Резерфорда

В физике рассеянием Резерфорда называется феномен, описанный Эрнестом Резерфордом в 1909 году, и приведший к развитию планетарной модели Бора-Резерфорда. Рассеяние Резерфорда также называют кулоновским рассеянием, потому что оно базируется исключительно на силах электростатического взаимодействия, и минимальное расстояние между частицами зависит только от потенциала поля. Классическое рассеяние Резерфорда представляет собой рассеяние α-частиц на ядрах атомов золота (бомбардировка золотой пластинки α-частицами), что является примером так называемого «упругого рассеяния», так как энергия и скорость рассеянной частицы такая же, как и у налетающей.

Также Резерфорд анализировал неупругое рассеяние α-частиц на протонах (ядрах атома водорода), этот процесс не является классическим рассеянием Резерфорда, хотя наблюдался им ранее, чем классический. При приближении α-частицы к протону возникают некулоновские силы, которые вместе с энергией налетающей частицы на лёгкую мишень меняют результаты эксперимента. Эти эффекты позволяют строить предположения о внутренней структуре мишени. Похожий процесс был применён в 1960-х для исследования внутренней структуры ядра под названием глубоко неупругое рассеяние.

Первоначальное открытие было сделано Хансом Гейгером и Эрнестом Марсденом в 1909 году — эксперимент Гейгера — Марсдена — под руководством Резерфорда, в котором они бомбардировали α-частицами мишень, состоящую из нескольких сверхтонких (толщиной менее одного микрона) слоёв золотой фольги. Во время эксперимента предполагалось, что атом является аналогией пудинга с изюмом (согласно томсоновской модели атома), где отрицательные заряды (изюм) распределены по положительно заряженному шару (пудинг). Если томсоновская модель атома верна, то положительно заряженный пудинг будет более протяжённым, чем ядро атома в модели Бора — Резерфорда, и не сможет создавать большие силы кулоновского отталкивания, вследствие чего α-частицы будут отклоняться на малые углы от своего первоначального вектора скорости.

Однако эксперимент показал, что 1 из 8000 частиц отражается на углы более 90°, когда основная масса частиц проходит через фольгу с небольшим отклонением или вообще без него. Исходя из этого Резерфорд заключил, что основная масса и заряд вещества заключена в крошечном положительно заряженном пространстве (ядре) окруженном электронами. Когда положительная α-частица пролетает очень близко от ядра, то испытывает на себе силы кулоновского отталкивания и отражается на большие углы. Маленький размер ядра атома объясняется малым количеством α-частиц отражённых подобным образом. Используя описанный метод, Резерфорд показал, что размер ядер меньше чем 10 − 14 m {displaystyle 10^{-14}m} (насколько «меньше» Резерфорд не мог уточнить опираясь только на этот эксперимент).

Дифференциальное сечение

Установленная Резерфордом в 1911 году формула дифференциального сечения:

d σ d Ω = ( α ℏ c 2 m v 0 2 ) 2 1 sin 4 ⁡ ( θ / 2 ) . {displaystyle {frac {dsigma }{dOmega }}=left({frac {alpha hbar c}{2mv_{0}^{2}}} ight)^{2}{frac {1}{sin ^{4}( heta /2)}}.}

Все частицы проходящие через кольцо слева попадают в кольцо справа.

Подробнее о вычислении максимального размера ядра

При столкновении α-частицы с ядром, вся кинетическая энергия ( m v 2 2 ) {displaystyle left({frac {mv^{2}}{2}} ight)} α-частицы превращается в потенциальную энергию, вследствие чего частица останавливается. В этот момент расстояние от α-частицы до центра ядра (b) является максимально возможным радиусом самого ядра. Это очевидно из эксперимента: если радиус сферического ядра превысит b, то частица не сможет провзаимодействовать с ним как с точечным зарядом посредством лишь кулоновских сил.

Приравнивая кинетическую энергию частицы к потенциалу электрического поля:

Подробное описание

По закону сохранения энергии:

E = K + P , {displaystyle E=K+P,}

где:

E — полная энергия частицы; K — кинетическая энергия частицы m v 2 2 {displaystyle {frac {mv^{2}}{2}}} ; P — потенциальная энергия частицы в кулоновском электрическом поле 1 4 π ϵ 0 ⋅ q 1 q 2 r , {displaystyle {frac {1}{4pi epsilon _{0}}}cdot {frac {q_{1}q_{2}}{r}},} где r — расстояние от частицы до центра ядра.

Предполагая, что частица летит из бесконечности:

E = m v 2 2 . {displaystyle E={frac {mv^{2}}{2}}.}

В момент максимального приближения к ядру (когда скорость стала нулевой):

E = 1 4 π ϵ 0 ⋅ q 1 q 2 b . {displaystyle E={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}cdot {frac {q_{1}q_{2}}{b}}.}

Следовательно, приравнивая оба уравнения по полной энергии:

m v 2 2 = 1 4 π ϵ 0 ⋅ q 1 q 2 b . {displaystyle {frac {mv^{2}}{2}}={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}cdot {frac {q_{1}q_{2}}{b}}.} m v 2 2 = 1 4 π ϵ 0 ⋅ q 1 q 2 b ⇒ b = 1 4 π ϵ 0 ⋅ 2 q 1 q 2 m v 2 {displaystyle {frac {mv^{2}}{2}}={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}cdot {frac {q_{1}q_{2}}{b}}Rightarrow b={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}cdot {frac {2q_{1}q_{2}}{mv^{2}}}} .

В эксперименте Гейгера — Марсдена:

  • m (масса α-частицы) = 6,7⋅10−27 кг
  • q1 (заряд α-частицы) = 2×(1,6⋅10−19) Кл
  • q2 (заряд ядра золота) = 79×(1,6⋅10−19) Кл
  • v (начальная скорость α-частицы) = 2⋅107 м/с

Подставляя эти значения в полученное уравнение для максимального радиуса ядра получаем ≈27·10−15 метра (радиус, измеренный современными методами ≈7,3·10−15 метра). Более точно радиус ядра атома золота невозможно было получить в этом эксперименте, так как энергии α-частицы хватило только чтобы приблизиться на 27 фм (27 фемтометров = 27·10−15 метра), тогда как для столкновения требовалось подойти на 7,3 фм.

Другие применения

На данный момент принцип рассеяния широко используется в спектроскопах обратного рассеяния чтобы определять тяжёлые элементы в решётках более лёгких атомов, например, чтобы найти вкрапления тяжёлых металлов в полупроводники. Известно, что данная технология была впервые использована на Луне для анализа почвы аппаратом «Surveyor 4», а позже аналогичные анализы проводили аппараты «Surveyor 5-7».

Еще по этой теме:
Связывание воды почвой
22:35, 28 март
Связывание воды почвой
Почвенные частицы обладают способностью связывать воду. Эта способность заключается в том, что почвенные частицы, соприкасаясь с жидкой или парообразной влагой, притягивают к себе некоторое
Метод пипетки Качинского-Робинсона-Кёхля (часть 1)
14:51, 13 март
Метод пипетки Качинского-Робинсона-Кёхля (часть 1)
Закон Стокса функционально связывает радиус частицы и ее равномерную скорость падения в жидкости известной вязкости и плотности при известной плотности твердой фазы самой частицы...
Рентгено-седиментационный метод гранулометрического анализа (часть 1)
14:50, 13 март
Рентгено-седиментационный метод гранулометрического анализа (часть 1)
Метод основан на принципе измерения плотности седиментирующей дисперсии по поглощению рентгеновских лучей с автоматической регистрацией результатов в виде интегральной кривой масс-распределения в
Метод малоуглового рассеивания нейтронов (часть 1)
14:47, 13 март
Метод малоуглового рассеивания нейтронов (часть 1)
Для того чтобы ответить на эти вопросы обратились к методу малоуглового рассеяния нейтронов. Этот метод обладает определенными преимуществами, так как не требуется никакой пробоподготовки. Можно
Зависимость адгезии от свойств твердой поверхности (часть 1)
13:31, 13 март
Зависимость адгезии от свойств твердой поверхности (часть 1)
Адгезия микроорганизмов сильно зависит от химической природы поверхности. Каждый микроорганизм в разной степени и с разной силой адгезируется на различных поверхностях. На положительно заряженных
Зависимость адгезии от свойств твердой поверхности (часть 2)
13:31, 13 март
Зависимость адгезии от свойств твердой поверхности (часть 2)
Если частицы меньше бактериальных клеток, то может происходить адгезия этих частиц на поверхности клеток. Иногда образуются конгломераты из клеток и частиц, более мелких, чем клетки. Широко известна
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail: