Показать меню

Упорядоченная группа

03.12.2020
43

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Далее операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом 0 {displaystyle 0} . Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Определение

Пусть G {displaystyle G} — группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ⩽ {displaystyle leqslant } (меньше или равно) со следующими свойствами:

  • Рефлексивность: x ⩽ x {displaystyle xleqslant x} .
  • Транзитивность: если x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} и y ⩽ z {displaystyle yleqslant z} , то x ⩽ z {displaystyle xleqslant z} .
  • Антисимметричность: если x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} и y ⩽ x {displaystyle yleqslant x} , то x = y {displaystyle x=y} .
  • Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых x , y {displaystyle x,y} либо x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} , либо y ⩽ x {displaystyle yleqslant x} .
  • Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:

  • Если x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} , то для любого z справедливы соотношения:
  • x + z ⩽ y + z ; z + x ⩽ z + y . {displaystyle x+zleqslant y+z;quad z+xleqslant z+y.}

    Если все пять аксиом выполнены, то группа G {displaystyle G} называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

    Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа.

    Связанные определения

    Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

    Отношение больше или равно: x ⩾ y {displaystyle xgeqslant y} означает, что y ⩽ x {displaystyle yleqslant x} . Отношение больше: x > y {displaystyle x>y} означает, что x ⩾ y {displaystyle xgeqslant y} и x ≠ y {displaystyle x eq y} . Отношение меньше: x < y {displaystyle x<y} означает, что y > x {displaystyle y>x} .

    Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством.

    Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок.

    Подгруппа H {displaystyle H} упорядоченной группы G {displaystyle G} называется выпуклой, если все элементы g ∈ G {displaystyle gin G} , находящиеся между элементами H , {displaystyle H,} принадлежат H . {displaystyle H.} Формальная запись: если h 1 , h 2 ∈ H {displaystyle h_{1},h_{2}in H} и h 1 ⩽ g ⩽ h 2 , {displaystyle h_{1}leqslant gleqslant h_{2},} то g ∈ H . {displaystyle gin H.} Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной.

    Свойства

    Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать, например:

    Если a < b {displaystyle a<b} и c < d , {displaystyle c<d,} то a + c < b + d {displaystyle a+c<b+d}

    Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна.

    Архимедовость

    Порядок в группе называется архимедовым, если для любых a > 0 {displaystyle a>0} и b > 0 {displaystyle b>0} найдётся такое натуральное n , {displaystyle n,} что:

    a + a + … + a ⏟ n > b {displaystyle underbrace {a+a+ldots +a} _{n}>b}

    Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна.

    Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент.

    Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел.

    Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп.

    Положительные и отрицательные элементы

    Элементы, большие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если x ⩾ 0 , {displaystyle xgeqslant 0,} то, прибавив − x , {displaystyle -x,} получим, что − x ⩽ 0. {displaystyle -xleqslant 0.} Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль.

    Обозначим P {displaystyle P} множество неотрицательных элементов. Тогда − P , {displaystyle -P,} то есть множество элементов, противоположных элементам P , {displaystyle P,} содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств.

    (P1) P {displaystyle P} замкнуто относительно сложения. (P2) − P {displaystyle -P} имеет с P {displaystyle P} ровно один общий элемент — ноль группы: P ∩ ( − P ) = { 0 } . {displaystyle Pcap (-P)={0}.} (P3) ( − g ) + P + g ⊂ P {displaystyle (-g)+P+gsubset P} для любого g ∈ G . {displaystyle gin G.} (P4) P ∪ ( − P ) = G . {displaystyle Pcup (-P)=G.}

    Конструктивное построение порядка

    Один из способов определить в произвольной группе G {displaystyle G} линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].

    Пусть такое P {displaystyle P} выделено. Определим линейный порядок в G {displaystyle G} следующим образом:

    x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} , если y − x ∈ P {displaystyle y-xin P} (отметим, что из свойства (P3) следует, что если y − x ∈ P , {displaystyle y-xin P,} то и − x + y ∈ P , {displaystyle -x+yin P,} даже если группа не коммутативна).

    Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры.

    Абсолютная величина

    Определим абсолютную величину элементов группы: | x | = m a x ( x , − x ) . {displaystyle |x|=max(x,-x).} Здесь функция m a x {displaystyle max} осуществляет выбор наибольшего значения.

    Свойства абсолютной величины:

    • | x | = 0 {displaystyle |x|=0} тогда и только тогда, когда x = 0. {displaystyle x=0.}
    • Для всех ненулевых x {displaystyle x} и только для них | x | > 0. {displaystyle |x|>0.}
    • Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: | x | = | − x | . {displaystyle |x|=|-x|.}
    • Неравенство треугольника: | x + y | ⩽ | x | + | y | . {displaystyle |x+y|leqslant |x|+|y|.}
    • | x | ⩽ y {displaystyle |x|leqslant y} равносильно − y ⩽ x ⩽ y . {displaystyle -yleqslant xleqslant y.}

    Примеры

    • Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
    • Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
    • Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n . {displaystyle a_{0}+a_{1}x+dots +a_{n}x^{n}.} Определим в ней множество P {displaystyle P} неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу.
    • Определим в аддитивной группе G {displaystyle G} всех комплексных чисел множество P {displaystyle P} неотрицательных элементов следующим образом: a + b i ∈ P , {displaystyle a+biin P,} если либо a > 0 , {displaystyle a>0,} либо a = 0 ; b ⩾ 0. {displaystyle a=0;bgeqslant 0.} Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает G {displaystyle G} в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком. В ней, например, 0 < i < 1 , {displaystyle 0<i<1,} причём сумма любого количества i {displaystyle i} всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на i {displaystyle i} неравенство i > 0 , {displaystyle i>0,} мы получим ошибочное неравенство − 1 > 0 {displaystyle -1>0} . Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.
    Еще по этой теме:
    Вариационный ряд
    08:23, 03 декабрь
    Вариационный ряд
    Вариационный ряд (упорядоченная выборка) — последовательность X ( 1 ) ⩽
    Касание
    00:23, 03 декабрь
    Касание
    Касание — свойство двух линий или линии и поверхности иметь в некоторой точке общую касательную прямую или свойство двух поверхностей иметь в некоторой точке общую касательную плоскость. Точка в
    Торический узел
    17:35, 02 декабрь
    Торический узел
    Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в R 3
    Кольцо Крулля
    10:57, 02 декабрь
    Кольцо Крулля
    Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году. Кольца Крулля являются многомерным обобщением
    Окружность Аполлония
    01:13, 02 декабрь
    Окружность Аполлония
    Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице. Биполярные координаты — ортогональная
    Обратный элемент
    23:38, 01 декабрь
    Обратный элемент
    Обратный элемент — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения). Определения Пусть ( M
    Комментарии:
    Добавить комментарий
    Ваше Имя:
    Ваш E-Mail:
    • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
      heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
      winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
      worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
      expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
      disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
      joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
      sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
      neutral_faceno_mouthinnocent