Максимальный тор

Максимальный тор связной вещественной группы Ли G {displaystyle G} — связная компактная коммутативная подгруппа Ли T {displaystyle T} в G {displaystyle G} , не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа.

Свойства

• Как группа Ли, максимальный тор T {displaystyle T} изоморфен прямому произведению нескольких копий «окружности» S 1 {displaystyle S^{1}} (мультипликативной группы всех комплексных чисел, равных по модулю 1 {displaystyle 1} ).
• Всякий максимальный тор группы G {displaystyle G} содержится в максимальной компактной подгруппе группы G {displaystyle G} ;
• Любые два максимальных тора группы G {displaystyle G} (так же, как и любые две её максимальные компактные подгруппы) сопряжены в G {displaystyle G} .
• Пусть, далее, G {displaystyle G} является компактной группой.
  • Объединение всех максимальных торов группы G {displaystyle G} совпадает с G {displaystyle G} ,
  • пересечение всех максимальных торов группы G {displaystyle G} совпадает с центром G {displaystyle G} .
  • Алгебра Ли максимального тора T {displaystyle T} является максимальной коммутативной подалгеброй в алгебре Ли g {displaystyle g} группы G {displaystyle G} . Более того,
    • всякая максимальная коммутативная подалгебра в g {displaystyle g} так получается.
  • Централизатор максимального тора T {displaystyle T} в G {displaystyle G} совпадает с T {displaystyle T} .