Теорема Бондаревой — Шепли
В теории игр теорема Бондаревой — Шепли описывает необходимые и достаточные условия для непустоты ядра в кооперативной игре. В частности, ядро игры непусто тогда и только тогда, когда игра сбалансирована. Теорема была независимо сформулирована Ольгой Бондаревой и Ллойдом Шепли в 1960-х.
Теорема
Пусть дана кооперативная игра ⟨ N , v ⟩ {displaystyle ;langle N,v
angle ;} , в которой N {displaystyle ;;N;} — множество игроков, а функция полезности v : 2 N → R {displaystyle ;v:2^{N} o mathbb {R} ;} определена на множестве всех подмножеств N {displaystyle N} .
Ядро игры ⟨ N , v ⟩ {displaystyle ;langle N,v
angle ;} непусто тогда и только тогда, когда для любой функции α : 2 N ∖ { ∅ } → [ 0 , 1 ] , {displaystyle alpha :2^{N}setminus {varnothing } o [0,1],} где
∀ i ∈ N : ∑ S ∈ 2 N : i ∈ S α ( S ) = 1 {displaystyle forall iin N:sum _{Sin 2^{N}:;iin S}alpha (S)=1}
выполнено следующее условие: