Дзета-функция Дедекинда

Дзета-функция Дедекинда ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} — это дзета-функция алгебраического числового поля K {displaystyle K} , являющаяся обобщением дзета-функции Римана.

Определение и основные свойства

Пусть K {displaystyle K} — алгебраическое числовое поле, s {displaystyle s} — комплексное число, тогда

ζ K ( s ) = ∑ I ⊆ O K 1 ( N K / Q ( I ) ) s {displaystyle zeta _{K}(s)=sum limits _{Isubseteq {mathcal {O}}_{K}}{frac {1}{(N_{K/mathbb {Q} }(I))^{s}}}}

где I {displaystyle I} пробегает все ненулевые идеалы кольца целых O K {displaystyle {mathcal {O}}_{K}} поля K {displaystyle K} , N K / Q {displaystyle N_{K/mathbb {Q} }} — абсолютная норма идеала I {displaystyle I} (которая равна индексу [ O K : I ] {displaystyle [{mathcal {O}}_{K}colon I]} ). Этот ряд сходится абсолютно для всех s ∈ C {displaystyle sin mathbb {C} } с действительной частью Re ⁡ ( s ) > 1 {displaystyle operatorname {Re} (s)>1} .

В общем случае дзета-функция Дедекинда определяется как

ζ K ( s ) = ∑ a 1 N ( a ) s {displaystyle zeta _{K}(s)=sum limits _{mathfrak {a}}{frac {1}{N({mathfrak {a}})^{s}}}}

где a {displaystyle {mathfrak {a}}} пробегает все целые дивизоры поля K {displaystyle K} , а N ( a ) {displaystyle N({mathfrak {a}})} обозначает норму дивизора a {displaystyle {mathfrak {a}}} .

Свойства

• Если K = Q {displaystyle K=mathbb {Q} } — поле рациональных чисел, то ζ Q ( s ) = ζ ( s ) {displaystyle zeta _{mathbb {Q} }(s)=zeta (s)} - дзета-функции Римана.

Эйлерово произведение

Дзета-функция Дедекинда K {displaystyle K} разлагается в эйлерово произведение по всем простым идеалам P {displaystyle P} кольца O K {displaystyle {mathcal {O}}_{K}}

ζ K ( s ) = ∏ P ⊆ O K 1 1 − 1 ( N K / Q ( I ) ) s {displaystyle zeta _{K}(s)=prod limits _{Psubseteq {mathcal {O}}_{K}}{frac {1}{1-{frac {1}{(N_{K/mathbb {Q} }(I))^{s}}}}}}

при Re ⁡ ( s ) > 1 {displaystyle operatorname {Re} (s)>1} .

Эта формула выражает единственность разложения идеала I {displaystyle I} в произведение простых идеалов в дедекиндовом кольце O K {displaystyle {mathcal {O}}_{K}} . При Re ⁡ ( s ) > 1 {displaystyle operatorname {Re} (s)>1} это произведение ненулевых множителей абсолютно сходится к ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} , откуда следует, что в этой области ζ K ( s ) ≠ 0 {displaystyle zeta _{K}(s) eq 0} .

Аналитическое продолжение

ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, которое является мероморфной функцией, имеющей простой полюс в точке s = 1 {displaystyle s=1} .

Функциональное уравнение

Как и дзета-функция Римана, дзета-функция Дедекинда удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, связывающему значения ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} и ζ K ( 1 − s ) {displaystyle zeta _{K}(1-s)} . Конкретно, пусть D ( K ) {displaystyle D(K)} — дискриминант поля K {displaystyle K} , r {displaystyle r} — число действительных вложений, а t {displaystyle t} — число пар комплексно-сопряжённых вложений поля K {displaystyle K} в C {displaystyle mathbb {C} } . Обозначим

Γ R ( s ) = π − s / 2 Γ ( s / 2 ) {displaystyle Gamma _{mathbf {R} }(s)=pi ^{-s/2}Gamma (s/2)} Γ C ( s ) = 2 ( 2 π ) − s Γ ( s ) {displaystyle Gamma _{mathbf {C} }(s)=2(2pi )^{-s}Gamma (s)}

где Γ ( s ) {displaystyle Gamma (s)} — гамма-функция. Тогда функция

Λ K ( s ) = | D ( K ) | s / 2 Γ R r ( s ) Γ C t ( s ) ζ K ( s ) {displaystyle Lambda _{K}(s)=|D(K)|^{s/2}Gamma _{mathbf {R} }^{r}(s)Gamma _{mathbf {C} }^{t}(s)zeta _{K}(s)}

удовлетворяет функциональному уравнению

Λ K ( s ) = Λ K ( 1 − s ) {displaystyle Lambda _{K}(s)=Lambda _{K}(1-s)}

Связь с характеристиками поля

Как и дзета-функция Римана, значения дзета-функции Дедекинда заключают в себе (хотя бы гипотетически) важную арифметическую информацию о K {displaystyle K} .

Например, точка s = 1 {displaystyle s=1} — простой полюс ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} , и для поля алгебраических чисел K {displaystyle K} степени n = r + 2 t {displaystyle n=r+2t} ( r , t {displaystyle r,t} определены выше) вычет в этой точке равен

lim s → 1 + 0 ( s − 1 ) ζ K ( s ) = 2 r + t π t R ( K ) w ( K ) | D ( K ) | h ( K ) {displaystyle lim limits _{s o 1+0}(s-1)zeta _{K}(s)={frac {2^{r+t}pi ^{t}R(K)}{w(K){sqrt {|D(K)|}}}}h(K)}

где h ( K ) {displaystyle h(K)} — число классов дивизоров, D ( K ) {displaystyle D(K)} — дискриминант поля, R ( K ) {displaystyle R(K)} - регулятор поля K {displaystyle K} , а w ( K ) {displaystyle w(K)} — число содержащихся в K {displaystyle K} корней из 1 (порядок подгруппы кручения O K × {displaystyle {mathcal {O}}_{K}^{ imes }} ). Вычет в этой точке дает аналитическую формулу для числа классов.

Другой пример — нуль s = 0 {displaystyle s=0} , порядок u {displaystyle u} которого равен рангу группы единиц кольца O K {displaystyle {mathcal {O}}_{K}} . Предел в этой точке равен

lim s → 0 s − u ζ K ( s ) = − h ( K ) R ( K ) w ( K ) . {displaystyle lim limits _{s o 0}s^{-u}zeta _{K}(s)=-{frac {h(K)R(K)}{w(K)}}.}

Это следует из функционального уравнения и соотношения u = r + t − 1 {displaystyle u=r+t-1} .

Из функционального уравнения и того, что Γ ( − n ) = ∞ {displaystyle Gamma (-n)=infty } для всех натуральных n {displaystyle n} получаем, что ζ K ( − 2 n ) = 0 {displaystyle zeta _{K}(-2n)=0} . ζ K ( − 2 n − 1 ) = 0 {displaystyle zeta _{K}(-2n-1)=0} для всех K {displaystyle K} , кроме случая, когда K {displaystyle K} полностью действительно (т.е. когда t = 0 {displaystyle t=0} , т.е. когда K = Q {displaystyle K=mathbb {Q} } или K = Q [ d ] , d > 0 {displaystyle K=mathbb {Q} [{sqrt {d}}],d>0} ). В полностью действительном случае, Зигель показал, что ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} - ненулевое рациональное число для отрицательных нечетных s {displaystyle s} . Стивен Лихтенбаум предложил гипотезу о выражении специальных значений для этих рациональных чисел в терминах алгебраической K-теории поля K {displaystyle K} .

Связь с дзета- и L-функциями

В случае, когда K {displaystyle K} — абелево расширение Q {displaystyle mathbb {Q} } , его дзета-функция Дедекинда ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} может быть представлена в виде произведений L-функций Дирихле. К примеру, если K {displaystyle K} — квадратичное поле, то это означает, что

ζ K ( s ) ζ Q ( s ) = L ( s , χ ) {displaystyle {frac {zeta _{K}(s)}{zeta _{mathbb {Q} }(s)}}=L(s,chi )}

где χ {displaystyle chi } — это символ Якоби, используемый как характер Дирихле. Это соотношение является аналитической переформулировкой квадратичного закона взаимности Гаусса.

В общем случае, если K {displaystyle K} — расширение Галуа поля Q {displaystyle mathbb {Q} } с группой Галуа G {displaystyle G} , то его дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления G {displaystyle G} , а значит разлагается в произведение L-функций Артина неприводимых представлений Артина G {displaystyle G} .

Связь с L-функциями Артина показывает, что если L / K {displaystyle L/K} — расширение Галуа, то ζ L ( s ) ζ K ( s ) {displaystyle {frac {zeta _{L}(s)}{zeta _{K}(s)}}} является голоморфной ( ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} "делит" ζ L ( s ) {displaystyle zeta _{L}(s)} ). В случае произвольного расширения аналогичное утверждение следует из гипотезу Артина для L-функций

Кроме того, ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{K}(s)} является дзета-функцией Хассе-Вейля для Spec ⁡ O K {displaystyle operatorname {Spec} {mathcal {O}}_{K}} и мотивной L-функцией мотива, приходящего из когомологии Spec ⁡ K {displaystyle operatorname {Spec} K} .

Расширенная гипотеза Римана

Расширенная гипотеза Римана (РГР) утверждает, что для любого алгебраического числового поля K {displaystyle K} если s {displaystyle s} — комплексный корень уравнения ζ K ( s ) = 0 {displaystyle zeta _{K}(s)=0} , лежащий в так называемой критической полосе 0 ⩽ Re ⁡ s ⩽ 1 {displaystyle 0leqslant operatorname {Re} sleqslant 1} , то его действительная часть Re ⁡ s = 1 2 {displaystyle operatorname {Re} s={frac {1}{2}}} .

Обычная гипотеза Римана получается из расширенной для K = Q , O K = Z {displaystyle K=mathbb {Q} ,{mathcal {O}}_{K}=mathbb {Z} } .

Из РГР следует эффективная версия[6] теоремы Чеботарёва о плотности: если L / K {displaystyle L/K} - конечное расширение Галуа с группой Галуа G {displaystyle G} , и C {displaystyle C} - множество сопряженных классов G {displaystyle G} , число неразветвленных простых чисел в K {displaystyle K} с нормой, не превосходящей x {displaystyle x} с классом сопряженности Фробениуса в C {displaystyle C} растет как

| C | | G | ( l i ( x ) + O ( x ( n ln ⁡ x + ln ⁡ | D ( K ) | ) ) ) {displaystyle {frac {|C|}{|G|}}}{Bigl (}mathrm {li} (x)+O{igl (}{sqrt {x}}(nln x+ln |D(K)|){igr )}{Bigr )}

причем константа в O {displaystyle O} абсолютна, n {displaystyle n} - степень расширения L {displaystyle L} над Q {displaystyle mathbb {Q} } , а D ( K ) {displaystyle D(K)} - дискриминант.