Тождество Якоби

Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операции [ ⋅ , ⋅ ] : V × V → V {displaystyle [cdot ,cdot ]colon V imes V ightarrow V} на линейном пространстве V {displaystyle V} . Имеет следующий вид:

∀ x , y , z ∈ V : [ [ x , y ] , z ] + [ [ y , z ] , x ] + [ [ z , x ] , y ] = 0 {displaystyle forall ,x,y,zin Vcolon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Примеры

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

• Коммутатор операторов
• коммутатор в алгебре Ли
• Скобки Ли векторных полей
• Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
• Векторное произведение векторов

Значение в алгебрах Ли

Если умножение [ ⋅ , ⋅ ] {displaystyle [cdot ,cdot ]} антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

a d x : y ↦ [ x , y ] {displaystyle mathrm {ad} _{x}colon ymapsto [x,y]}

Записав тождество Якоби в форме

[ x , [ y , z ] ] = [ y , [ x , z ] ] + [ [ x , y ] , z ] {displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора a d x {displaystyle mathrm {ad} _{x}} :

a d x [ y , z ] = [ a d x y , z ] + [ y , a d x z ] {displaystyle mathrm {ad} _{x},[y,z]=[mathrm {ad} _{x},y,z]+[y,mathrm {ad} _{x},z]}

Таким образом, a d x {displaystyle mathrm {ad} _{x}} — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

a d [ x , y ] = [ a d x , a d y ] = a d x a d y − a d y a d x {displaystyle mathrm {ad} _{[x,y]}=[mathrm {ad} _{x},mathrm {ad} _{y}]=mathrm {ad} _{x}mathrm {ad} _{y}-mathrm {ad} _{y}mathrm {ad} _{x}}

Это означает, что оператор a d {displaystyle mathrm {ad} } задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби

Пусть Ω = ⊕ i Ω i {displaystyle Omega =oplus _{i}Omega ^{i}} — градуированная алгебра, [ ⋅ , ⋅ ] {displaystyle [cdot ,cdot ]} — умножение в ней. Говорят, что умножение в Ω {displaystyle Omega } удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов ω i ∈ Ω i {displaystyle omega _{i}in Omega ^{i}}

[ ω m , [ ω k , ω l ] = [ [ ω m , ω k ] , ω l ] + ( − 1 ) m k [ ω k , [ ω m , ω l ] {displaystyle [omega _{m},[omega _{k},omega _{l}]=[[omega _{m},omega _{k}],omega _{l}]+(-1)^{mk}[omega _{k},[omega _{m},omega _{l}]}

Примеры

• алгебра внешних форм;
• алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
• алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;