Частные производные высших порядков
Пусть задана функция f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} . Тогда каждая из её частных производных (если они, конечно, существуют) ∂ f ( x , y ) ∂ x {displaystyle partial f(x,y) over partial x} и ∂ f ( x , y ) ∂ y {displaystyle partial f(x,y) over partial y} , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x , y {displaystyle x,y} и может, следовательно, также иметь частные производные. Частная производная ∂ ∂ x ( ∂ f ∂ x ) {displaystyle {partial over {partial x}}left({partial f over {partial x}}
ight)} обозначается через ∂ 2 f ∂ x 2 {displaystyle {partial ^{2}f over {partial x^{2}}}} или f x x ″ {displaystyle f_{xx}'} , а ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) {displaystyle {partial over {partial y}}left({partial f over {partial x}}
ight)} через ∂ 2 f ∂ y ∂ x {displaystyle partial ^{2}f over {partial ypartial x}} или f x y ″ {displaystyle f_{xy}'} . Таким образом,
∂ ∂ x ( ∂ f ∂ x ) = ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x ″ {displaystyle {partial over {partial x}}left({partial f over {partial x}} ight)={partial ^{2}f over {partial x^{2}}}=f_{xx}'} , ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f x y ″ {displaystyle {partial over {partial y}}left({partial f over {partial x}} ight)={partial ^{2}f over {partial ypartial x}}=f_{xy}'}
и, аналогично,
∂ ∂ x ( ∂ f ∂ y ) = ∂ 2 f ∂ x ∂ y = f y x ″ {displaystyle {partial over {partial x}}left({partial f over {partial y}} ight)={partial ^{2}f over {partial xpartial y}}=f_{yx}'} , ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ y ) = ∂ 2 f ∂ y 2 = f y y ″ {displaystyle {partial over {partial y}}left({partial f over {partial y}} ight)={partial ^{2}f over {partial y^{2}}}=f_{yy}'} .
Производные f x x ″ , f x y ″ , f y x ″ {displaystyle f_{xx}',f_{xy}',f_{yx}'} и f y y ″ {displaystyle f_{yy}'} называются частными производными второго порядка. Определение: частной производной второго порядка от функции z = f ( x ; y ) {displaystyle z=f(x;y)} дифференцируемой в области D {displaystyle D} , называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: ∂ 3 f ∂ x 3 {displaystyle partial ^{3}f over {partial x^{3}}} , ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 {displaystyle partial ^{3}f over {partial ypartial x^{2}}} , ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x {displaystyle partial ^{3}f over {partial y^{2}partial x}} и т. д.