Аффинное преобразование
Аффинное преобразование, иногда Афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.
Определения
Геометрическое
Биекция евклидова пространства или плоскости в себя, отображающая прямые в прямые, называется аффинным преобразованием.
Алгебраическое
Аффинное преобразование f : R n → R n {displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}} есть преобразование вида
f ( x ) = M ⋅ x + v , {displaystyle f(x)=Mcdot x+v,}где M {displaystyle M} — обратимая матрица и v ∈ R n {displaystyle vin mathbb {R} ^{n}} .
Комментарии
- Заметим, что в геометрическом определении не предполагается непрерывность. Однако непрерывность следует из определения не вполне тривиальным образом. Более того, оба определения равносильны по так называемой основной теореме аффинной геометрии.
- Заметим, что преобразование является аффинным, если его можно получить следующим образом:
- Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат v {displaystyle v} ;
- Каждой точке x {displaystyle x} пространства поставить в соответствие точку f ( x ) {displaystyle f(x)} , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и x {displaystyle x} в «старой».
Примеры
Примерами аффинных преобразований являются
- движения;
- растяжения;
- преобразования подобия.
Свойства
- При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
- Если размерность пространства n ⩾ 2 {displaystyle {n}geqslant 2} , то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
- Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
- Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.
Типы аффинных преобразований
- Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также сохраняется аффинная длина).
- Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.
Матричное представление
Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование f ( x ) = M ⋅ x + v {displaystyle f(x)=Mcdot x+v} можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:
( f ( x ) 1 ) = ( M v 0 1 ) ( x 1 ) {displaystyle {egin{pmatrix}f(x)1end{pmatrix}}={egin{pmatrix}M&v &1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x1end{pmatrix}}}
Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована.
Вариации и обобщения
- В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } .
- Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
- Аффинные преобразования пространства R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} можно представить как аффинные преобразования пространства R n + 1 {displaystyle mathbb {R} ^{n+1}} .