Показать меню

Задачи упаковки

Задачи упаковки — это класс задач оптимизации в математике, в которых пытаются упаковать объекты в контейнеры. Цель упаковки — либо упаковать отдельный контейнер как можно плотнее, либо упаковать все объекты, использовав как можно меньше контейнеров. Многие из таких задач могут относиться к упаковке предметов в реальной жизни, вопросам складирования и транспортировки. Каждая задача упаковки имеет двойственную задачу о покрытии, в которой спрашивается, как много требуется некоторых предметов, чтобы полностью покрыть все области контейнера, при этом предметы могут накладываться.

В задаче упаковки задано:

  • «контейнеры» (обычно одна двумерная или трёхмерная выпуклая область или бесконечная область)
  • множество «объектов», некоторые из которых или все должны быть упакованы в один или несколько контейнеров. Множество может содержать различные объекты с заданными размерами, или один объект фиксированных размеров, который может быть использован несколько раз.

Обычно в упаковке объекты не должны пересекаться и объекты не должны пересекать стены контейнера. В некоторых вариантах цель заключается в нахождении конфигурации, которая упаковывает один контейнер с максимальной плотностью. В более общем виде целью является упаковка всех объектов в как можно меньше контейнеров. В некоторых вариантах наложение (объектов друг на друга и/или на границы контейнера) разрешается, но это наложение должно быть минимизировано.

Упаковка бесконечного пространства

Многие из этих задач, если размер контейнера увеличивается во всех направлениях, становятся эквивалентны задачам упаковки объектов как можно плотнее в бесконечном евклидовом пространстве. Эта задача относится к некоторому числу научных дисциплин и получает существенное внимание. Гипотеза Кеплера постулировала оптимальное решение упаковки шаров за сотни лет до того, когда была доказана Томасом Хейлзом. Получили внимание другие формы, включая эллипсоиды , платоновы и архимедовы тела , в том числе тетраэдры и димеры различных сфер .

Шестиугольная упаковка кругов

Эти задачи математически отличаются от идей в теореме об упаковке кругов. Связанная задача упаковки кругов имеет дело с упаковкой кругов, возможно различных размеров, на поверхности, например, на плоскости или сфере.

Аналоги круга в других размерностях не могут быть упакованы с абсолютной эффективностью в размерностях, больших единицы (в одномерном пространстве аналог окружности — просто две точки). Таким образом, всегда останется незанятое пространство при упаковке исключительно кругами. Наиболее эффективный путь упаковки кругов, шестиугольная упаковка, даёт примерно 91 % эффективности.

Упаковка сфер в высших размерностях

В трёхмерном пространстве гранецентрированная решётка даёт оптимальную упаковку сфер. Доказано, что 8-мерная решётка E8 и 24-мерная решётка Лича оптимальны в соответствующих пространствах.

Упаковка платоновых тел в трёхмерных пространствах

Кубы легко могут быть расположены в трёхмерном пространстве так, что они полностью заполнят пространство. Наиболее естественная упаковка — кубические соты. Никакой другой правильный многогранник не может заполнить полностью пространство, но некоторые результаты известны. Тетраэдр может дать упаковку по меньшей мере 85 %. Одна из лучших упаковок правильными додекаэдрами основывается на вышеупомянутой гранецентрированной кубической решётке.

Тетраэдры и октаэдры вместе могут заполнить всё пространство в конфигурации, известной как тетраэдрально-октаэдральная мозаика.

Моделирование, совмещающее методы локального улучшения со случайно сгенерированными упаковками, наводит на мысль, что решётчатые упаковки для икосаэдра, додекаэдра и октаэдра являются оптимальными и в более широком классе всех упаковок.

Упаковка в 3-мерные контейнеры

Сферы в евклидов шар

Задача нахождения наименьшего шара, в который можно упаковать без перекрытия k {displaystyle k} открытых единичных шаров, имеет простой и полный ответ в n {displaystyle n} -мерном евклидовом пространстве, если k ≤ n + 1 {displaystyle scriptstyle kleq n+1} , а в бесконечномерном гильбертовом пространстве — без ограничений. Имеет смысл описать его здесь с целью показать общую проблему. В этом случае возможна конфигурация k {displaystyle k} попарно касающихся единичных шаров. Разместим центры в вершинах a 1 , . . , a k {displaystyle a_{1},..,a_{k}} правильного ( k − 1 ) {displaystyle scriptstyle (k-1)} мерного симплекса с ребром 2. Это легко сделать, начав с ортонормированного базиса. Лёгкие вычисления показывают, что расстояние от любой вершины до центра тяжести равно 2 ( 1 − 1 k ) {displaystyle scriptstyle {sqrt {2{ig (}1-{frac {1}{k}}{ig )}}}} . Кроме того, любая другая точка пространства имеет большее расстояние по меньшей мере до одной из k {displaystyle scriptstyle k} вершин. В терминах включения шаров, k {displaystyle scriptstyle k} открытых единичных шаров, имеющих центры в точках a 1 , . . , a k {displaystyle scriptstyle a_{1},..,a_{k}} , попадают в шар радиуса r k := 1 + 2 ( 1 − 1 k ) {displaystyle scriptstyle r_{k}:=1+{sqrt {2{ig (}1-{frac {1}{k}}{ig )}}}} , который минимален для такой конфигурации.

Чтобы показать, что такая конфигурация оптимальна, допустим, что x 1 , . . . , x k {displaystyle scriptstyle x_{1},...,x_{k}} — центры k {displaystyle scriptstyle k} непересекающихся открытых единичных шаров, находящихся в шаре с радиусом r {displaystyle scriptstyle r} и центром в точке x 0 {displaystyle scriptstyle x_{0}} . Рассмотрим отображение из конечного множества { x 1 , . . x k } {displaystyle scriptstyle {x_{1},..x_{k}}} в { a 1 , . . a k } {displaystyle scriptstyle {a_{1},..a_{k}}} , сопоставляющее x j {displaystyle scriptstyle x_{j}} в a j {displaystyle scriptstyle a_{j}} для всех 1 ≤ j ≤ k {displaystyle scriptstyle 1leq jleq k} . Поскольку для всех 1 ≤ i < j ≤ k {displaystyle scriptstyle 1leq i<jleq k} , ‖ a i − a j ‖ = 2 ≤ ‖ x i − x j ‖ {displaystyle scriptstyle |a_{i}-a_{j}|=2leq |x_{i}-x_{j}|} , это отображение 1-липшицево и по теореме Киршбрауна оно распространяется до глобально определённого 1-липшицева отображения. В частности, существует точка a 0 {displaystyle scriptstyle a_{0}} , такая что для всех 1 ≤ j ≤ k {displaystyle scriptstyle 1leq jleq k} имеем ‖ a 0 − a j ‖ ≤ ‖ x 0 − x j ‖ {displaystyle scriptstyle |a_{0}-a_{j}|leq |x_{0}-x_{j}|} , а следовательно, r k ≤ 1 + ‖ a 0 − a j ‖ ≤ 1 + ‖ x 0 − x j ‖ ≤ r {displaystyle scriptstyle r_{k}leq 1+|a_{0}-a_{j}|leq 1+|x_{0}-x_{j}|leq r} . Это показывает, что существуют k {displaystyle scriptstyle k} непересекающихся единичных открытых шаров в шаре радиусом r {displaystyle scriptstyle r} тогда и только тогда, когда r ≥ r k {displaystyle scriptstyle rgeq r_{k}} . Заметим, что в случае бесконечномерного гильбертова пространства отсюда следует существование бесконечного числа непересекающихся единичных открытых шаров внутри шара радиуса r {displaystyle scriptstyle r} тогда и только тогда, когда r ≥ 1 + 2 {displaystyle scriptstyle rgeq 1+{sqrt {2}}} . Например, единичные шары с центрами в 2 e j {displaystyle scriptstyle {sqrt {2}}e_{j}} , где { e j } j {displaystyle scriptstyle {e_{j}}_{j}} — ортонормальный базис, не пересекаются и содержатся в шаре радиуса 1 + 2 {displaystyle scriptstyle 1+{sqrt {2}}} с центром в начале координат. Более того, для r < 1 + 2 {displaystyle scriptstyle r<1+{sqrt {2}}} максимальное число непересекающихся открытых единичных шаров внутри шара радиуса r равно ⌊ 2 2 − ( r − 1 ) 2 ⌋ {displaystyle scriptstyle {ig lfloor }{frac {2}{2-(r-1)^{2}}}{ig floor }} .

Сферы в параллелепипед

Задача определяет число сферических объектов заданного диаметра d, которые могут быть упакованы в прямоугольный параллелепипед размера a × b × c.

Одинаковые сферы в цилиндр

Задача определяет минимальную высоту h цилиндра с заданным радиусом R, в который упаковано n одинаковых шаров радиуса r (< R) .

Упаковка в 2-мерные контейнеры

Упаковка кругов

Круги в круге

Упаковка n единичных кругов в как можно меньшую окружность. Задача тесно связана с распределением точек в единичной окружности с целью достичь наибольшего минимального расстояния dn между точками.

Оптимальные решения были доказаны для n≤13 и для n=19.

Круги в квадрате

Упаковка n единичных кругов в как можно меньший квадрат. Задача тесно связана с распределением точек в единичном квадрате с целью достичь наибольшего минимального расстояния dn между точками. Для преобразования двух этих формулировок задачи размер квадрата единичных кругов будет L=2+2/dn.

Оптимальные решения были доказаны для n≤30.

Круги в равнобедренном прямоугольном треугольнике

Упаковка n единичных кругов в как можно меньший равнобедренный прямоугольный треугольник. Хорошие приближения известны для n<300 .

Круги в правильном треугольнике

Упаковка n единичных кругов в как можно меньший правильный треугольник. Оптимальные решения известны для n<13, а для n<28 высказаны гипотезы.

Упаковка квадратов

Квадраты в квадрате

Упаковка n единичных квадратов в как можно меньший квадрат.

Оптимальные решения доказаны для n=1-10, 14-16, 23-25, 34-36, 62-64, 79-81, 98-100 и любого полного квадрата .

Незаполненное пространство асимптотически равно O(a7/11) .

Квадраты в круге

Упаковка n квадратов в как можно меньший круг.

Минимальные решения:

Упаковка прямоугольников

Одинаковые прямоугольники в прямоугольнике

Задача упаковки множественных копий одного прямоугольника размера (l,w) с разрешением поворота на 90° в больший прямоугольник размера (L,W) имеет несколько приложений, таких как загрузка коробок на поддоны и укладка древесно-стружечных плит.

Например, можно упаковать 147 прямоугольников размера 137x95 в прямоугольник размера 1600x1230 .

Различные прямоугольники в прямоугольнике

Задача упаковки прямоугольников с различной шириной и высотой в прямоугольник минимальной площади (но без ограничения на ширину и высоту такого прямоугольника) имеет важное приложение для сборки изображений в одно большое изображение. WEB-страница, загружающая одно большое изображение, часто обрабатывается быстрее в браузерах, чем при загрузке множества мелких изображений, поскольку требуется запрос каждого изображения с сервера.

Пример быстрого алгоритма, упаковывающего прямоугольники различной высоты и ширины в прямоугольник минимальной площади, — здесь.

Связанные задачи

В задачах замощения не должно быть ни промежутков, ни наложений. Много головоломок такого типа используют упаковку прямоугольников или полимино в прямоугольник большего размера или другую фигуру, близкую к квадрату.

Существует важная теорема о замощении прямоугольников (и прямоугольных параллелепипедов) в прямоугольники (прямоугольные параллелепипеды) без промежутков и наложений:

Прямоугольник a × b может быть упакован в ленту 1 × n тогда и только тогда, когда n делится на a или n делится на b Теорема де Брёйна: прямоугольный параллелепипед может быть упакован гармоническим кирпичом a × a b × a b c, если параллелепипед имеет размеры a p × a b q × a b c r для некоторых натуральных чисел p, q, r (то есть параллелепипед кратен кирпичу.)

Изучение замощений плитками полимино в значительной степени касается двух классов задач — замощение прямоугольника конгруэнтными плитками и замощение набором плиток n-полимино прямоугольника.

Классическая головоломка второго вида — расположить все двенадцать плиток пентамино в прямоугольниках размером 3×20, 4×15, 5×12 или 6×10.

Упаковка неправильных объектов

Упаковка неправильных объектов является задачей, решение которой вряд ли возможно в замкнутой (аналитической) форме. Однако в науке об окружающем мире задача весьма важна. Например, неправильные частички почвы упаковываются различным образом при изменении размеров и формы частичек, что ведёт к существенным последствиям для растений по формированию корней и возможности перемещения воды в почве.

Еще по этой теме:
APX
08:20, 02 декабрь
APX
APX (от англ. «approximable») в теории вычислительной сложности — это класс NP-трудных задач, для которых существуют аппроксимационные алгоритмы полиномиальной сложности с постоянным коэффициентом
Особенности и характеристики крафт-бумаги
19:49, 27 апрель
Особенности и характеристики крафт-бумаги
В последние годы как никогда актуальным является вопрос защиты окружающей среды. Именно поэтому постоянно ищутся новые материалы, которые помогли бы сохранить экологию.
Как перевозить блок-контейнер?
20:33, 27 май
Как перевозить блок-контейнер?
Незамысловатая перевозка – это одно из самых важных достоинств блок-контейнеров. Специфика их использования позволяет часто выполнять перевозки с одного места на другое, а также в максимально сжатые
Полимерная тара
15:25, 08 февраль
Полимерная тара
Полимерные материалы с момента своего изобретения нашли своё применение в самых разных сферах. Особенно они активно используются при производстве различной тары и, которая применяется для упаковки
Упаковка, без которой немыслима перевозка продуктов
14:57, 18 апрель
Упаковка, без которой немыслима перевозка продуктов
Пластик незаменим для производства бытовой товарной упаковки. Среди последней выделяются пластиковые ведра. Они делаются из материалов, безвредных для здоровья.
Свое дело по производству лотков из полистрола
11:02, 14 сентябрь
Свое дело по производству лотков из полистрола
Сегодня в любом магазине на каждом прилавке мы можем видеть интересную упаковку, в которой поставляется пищевая продукция. Полистроловые подложки для упаковки мяса, рыбы , овощей и фруктов, уверенно
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail: