Распределение Скеллама

Распределение Скеллама — дискретное распределение вероятностей разности n 1 − n 2 {displaystyle n_{1}-n_{2}} двух статистически независимых случайных величин N 1 {displaystyle N_{1}} и, N 2 {displaystyle N_{2}} имеющих Пуассоновское распределения с различными средними μ 1 {displaystyle mu _{1}} и μ 2 {displaystyle mu _{2}} . Оно применяется при описании статистики разности двух изображений с простым фотонным шумом, а также описывает распределение разности очков в спортивных играх, где все набранные очки равны, таких как бейсбол, хоккей и футбол.

Распределение также распространяется на частный случай разности зависимых случайных величин Пуассона, но просто очевидно случай, когда две переменные имеют общий аддитивный случайный вклад, который отменен в разностном: см. Карлис & Ntzoufras (2003) подробности и заявки.

В вероятности функция масс для Skellam распределения для подсчета разности k = n 1 − n 2 {displaystyle k=n_{1}-n_{2}} двух Пуассоновых-распределенных переменных средствами μ 1 {displaystyle mu _{1}} и μ 2 {displaystyle mu _{2}} определяется по формуле:

f ( k ; μ 1 , μ 2 ) = e − ( μ 1 + μ 2 ) ( μ 1 μ 2 ) k / 2 I k ( 2 μ 1 μ 2 ) {displaystyle f(k;mu _{1},mu _{2})=e^{-(mu _{1}+mu _{2})}left({mu _{1} over mu _{2}} ight)^{k/2}I_{k}(2{sqrt {mu _{1}mu _{2}}})}

где ячто K(оси Z) есть модифицированная функция Бесселя первого рода. Заметим, что так как K — целое число мы имеем, что яв K(Z с)=я|к|(по Z).