Многогранник

Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью.

Определение

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве, такая, что:

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника.

Простейшим примером многогранника является выпуклый многогранник, то есть граница такого ограниченного подмножества евклидова пространства, которое является пересечением конечного числа полупространств.

Варианты значения

Приведённое определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:

• Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
• Части плоскости, ограниченные ломаными.

В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором — многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела.

Связанные определения

Многогранник с n гранями называют n-гранником. В частности, тетраэдр — четырёхгранник, додекаэдр — двенадцатигранник, икосаэдр — двадцатигранник и т. д.

Выпуклый многогранник

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер.

Вариации и обобщения

• Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности; такое обобщение обычно называется n-мерным многогранником.
• Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер.
• Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
• Сферический многогранник.