Показать меню

Биэллиптическая переходная орбита

09.12.2020
90

Биэллиптическая переходная орбита — в космонавтике и аэрокосмической технике орбита манёвра, при котором космический аппарат переходит с одной орбиты на другую. В некоторых случаях биэллиптический переход требует меньшей характеристической скорости дельта-v, чем перелёт по гомановскому эллипсу.

Биэллиптическая орбита состоит из двух половин эллиптических орбит. Сначала космическому аппарату, находящемуся на начальной орбите, придаётся определённая дельта-v для перехода на первую часть биэллиптической орбиты с апоцентром в некоторой точке на расстоянии r b {displaystyle r_{b}} от центрального тела. В этой точке аппарату также придаётся некоторая дельта-v для перехода на второй участок биэллиптической орбиты с перицентром на расстоянии, равном радиусу итоговой желаемой орбиты. В точке перицентра в третий раз аппарату придаётся некоторая дельта-v, в результате аппарат переходит на требуемую орбиту.

Биэллиптические перелёты обычно требуют больше топлива и времени, чем гомановские, но некоторые биэллиптические траектории требуют меньшей суммарной дельта-v, чем гомановская траектория, в случае отношения больших полуосей конечной и начальной траектории, превышающего 11,94, в зависимости от большой полуоси промежуточной орбиты.

Идея биэллиптической переходной орбиты была впервые представлена в статье Ари Штернфельда в 1934 году.

Вычисления

Дельта-v

Три значения изменения скорости можно получить непосредственно из интеграла энергий,

v 2 = μ ( 2 r − 1 a ) , {displaystyle v^{2}=mu left({frac {2}{r}}-{frac {1}{a}} ight),}

где

  • v {displaystyle v,!} — скорость аппарата на орбите,
  • μ = G M {displaystyle mu =GM,!} — гравитационный параметр притягивающего тела,
  • r {displaystyle r,!} — расстояние от притягивающего центра до тела на орбите,
  • a {displaystyle a,!} — большая полуось орбиты тела.

В рассматриваемой задаче

  • r 1 {displaystyle r_{1}} — радиус начальной круговой орбиты,
  • r 2 {displaystyle r_{2}} — радиус финальной круговой орбиты,
  • r b {displaystyle r_{b}} — радиус общего апоцентра двух эллиптических участков переходной орбиты, свободный параметр манёвра,
  • a 1 {displaystyle a_{1}} и a 2 {displaystyle a_{2}} равны большим полуосям эллиптических участков переходной орбиты, задаются равенствами
  • : a 1 = r 1 + r b 2 , {displaystyle a_{1}={frac {r_{1}+r_{b}}{2}},}
  • : a 2 = r 2 + r b 2 . {displaystyle a_{2}={frac {r_{2}+r_{b}}{2}}.}

При старте с начальной круговой орбиты радиуса r 1 {displaystyle r_{1}} (тёмно-синяя окружность на рисунке), добавление скорости по направлению движения (вектор в положении 1 на рисунке) переводит космический аппарат на первый эллиптический участок орбиты перехода (бирюзовая линия). Величина необходимой дельта-v равна

Δ v 1 = 2 μ r 1 − μ a 1 − μ r 1 . {displaystyle Delta v_{1}={sqrt {{frac {2mu }{r_{1}}}-{frac {mu }{a_{1}}}}}-{sqrt {frac {mu }{r_{1}}}}.}

Когда апоцентр первого эллиптического участка достигается на расстоянии r b {displaystyle r_{b}} , аппарату второй раз придаётся дополнительная скорость по направлению движения (вектор в положении 2 на рисунке), в результате на новой эллиптической орбите (оранжевая кривая) перицентр находится в точке касания итоговой круговой орбиты. Величина требуемой для перехода на эту часть переходной орбиты равна

Δ v 2 = 2 μ r b − μ a 2 − 2 μ r b − μ a 1 . {displaystyle Delta v_{2}={sqrt {{frac {2mu }{r_{b}}}-{frac {mu }{a_{2}}}}}-{sqrt {{frac {2mu }{r_{b}}}-{frac {mu }{a_{1}}}}}.}

Наконец, когда достагется финальная круговая орбита радиуса r 2 {displaystyle r_{2}} , аппарату придаётся вектор скорости против движения по орбите (вектор в положении 3 на рисунке) для перехода на итоговую круговую орбиту (красная окружность). Финальная добавка скорости равна

Δ v 3 = 2 μ r 2 − μ a 2 − μ r 2 . {displaystyle Delta v_{3}={sqrt {{frac {2mu }{r_{2}}}-{frac {mu }{a_{2}}}}}-{sqrt {frac {mu }{r_{2}}}}.}

Если r b = r 2 {displaystyle r_{b}=r_{2}} , то манёвр преобразуется в гомановскую траекторию (в этом случае Δ v 3 {displaystyle Delta v_{3}} равно нулю). Следовательно, биэллиптическая орбита представляет более общий тип траектории, чем гомановская.

Максимальная экономия в смысле добавочной скорости может быть вычислена в предположении r b = ∞ {displaystyle r_{b}=infty } ,тогда полное значение Δ v {displaystyle Delta v} принимает вид μ / r 1 ( 2 − 1 ) ( 1 + r 1 / r 2 ) {displaystyle {sqrt {mu /r_{1}}}left({sqrt {2}}-1 ight)left(1+{sqrt {r_{1}/r_{2}}} ight)} .

В таком случае переход называется бипараболическим, поскольку оба участка траектории являются не эллипсами, а параболами. Время перелёта также стремится к бесконечности.

Время перелёта

Как и в случае гомановского перелёта, обе части траектории, используемой в биэллиптическом перелёте, являются в точности половинами эллипсов. Это означает, что время, необходимое для преодоления каждой фазы перехода, является половиной орбитального периода для каждого эллипса.

Используем уравнение для орбитального периода и указанные выше обозначения:

T = 2 π a 3 μ . {displaystyle T=2pi {sqrt {frac {a^{3}}{mu }}}.}

Полное время перелёта t {displaystyle t} является суммой промежутков времени для каждой из половин эллипсов, следовательно

t 1 = π a 1 3 μ , t 2 = π a 2 3 μ . {displaystyle t_{1}=pi {sqrt {frac {a_{1}^{3}}{mu }}},quad quad t_{2}=pi {sqrt {frac {a_{2}^{3}}{mu }}}.}

Итоговый интервал времени:

t = t 1 + t 2 . {displaystyle t=t_{1}+t_{2}.}

Сравнение с гомановской траекторией

Дельта-v

Рисунок показывает полное значение Δ v {displaystyle Delta v} , требуемое для перехода с круговой орбиты радиуса r 1 {displaystyle r_{1}} на другую круговую орбиту радиуса r 2 {displaystyle r_{2}} . Величина Δ v {displaystyle Delta v} нормирована на орбитальную скорость начальной орбиты, v 1 {displaystyle v_{1}} и представлена в виде функции отношения радиусов конечной и начальной орбиты R ≡ r 2 / r 1 {displaystyle Requiv r_{2}/r_{1}} ; таким образом, сопоставление величин является общим, не зависящим от r 1 {displaystyle r_{1}} и r 2 {displaystyle r_{2}} по отдельности, а только от их отношения.

Чёрная кривая показывает значение Δ v {displaystyle Delta v} для гомановской траектории, цветные кривые соответствуют биэллиптическим траекториям с различными значениями параметра α ≡ r b / r 1 {displaystyle alpha equiv r_{b}/r_{1}} , определённого как расстояние апоцентра r b {displaystyle r_{b}} биэллиптической орбиты, делённое на радиус начальной орбиты, и указанного рядом с кривыми. На врезке крупным планом показана область, где кривые для биэллиптических траекторий пересекают кривую для гомановской орбиты первый раз.

Можно заметить, что гомановский перелёт является более эффективным при отношении радиусов R {displaystyle R} меньшем 11,94. С другой стороны, если радиус итоговой орбиты более чем в 15,58 раз превышает радиус начальной орбиты, то любой биэллиптический переход вне зависимости от апоцентрического расстояния (оно должно всё же превышать радиус итоговой орбиты) требует меньшую Δ v {displaystyle Delta v} чем гомановская траектория. В области от 11,94 до 15,58 эффективность той или иной орбиты зависит от апоцентрического расстояния r b {displaystyle r_{b}} . Для заданного R {displaystyle R} в этом диапазоне существует значение r b {displaystyle r_{b}} , выше которого предпочтительна биэллиптическая траектория и ниже которого предпочтительна гомановская траектория. В следующей таблице указаны значения α ≡ r b / r 1 {displaystyle alpha equiv r_{b}/r_{1}} для некоторых случаев.

Время перелёта

Длительное время перелёта по биэллиптической орбите

t = π a 1 3 μ + π a 2 3 μ {displaystyle t=pi {sqrt {frac {a_{1}^{3}}{mu }}}+pi {sqrt {frac {a_{2}^{3}}{mu }}}}

является существенным недостатком такого орбитального манёвра. В случае бипараболической траектории время перелёта становится бесконечным.

Гомановский перелёт обычно требует меньше времени, поскольку движение происходит только по половине эллипса переходной орбиты:

t = π a 3 μ . {displaystyle t=pi {sqrt {frac {a^{3}}{mu }}}.}

Пример

Для перехода с низкой круговой орбиты радиуса r0=6700 км вокруг Земли на новую круговую орбиту радиуса r1=93800 км при использовании гомановской траектории потребуется Δv, равное 2825.02+1308.70=4133.72 м/с. Поскольку r1=14r0 >11,94r0, то биэллиптическая траектория позволит затратить меньшую Δv. Если космическому аппарату сначала придать дополнительную скорость 3061,04 м/с, переведя таким образом на эллиптическую орбиту с апогеем при r2=40r0=268000 км, а затем в апогее придать еще 608,825 м/с для достижения новой орбиты с перигеем на расстоянии r1=93800 км, и в конце манёвра в перицентре второго участка переходной орбиты уменьшить скорость на 447,662 м/с, переведя аппарат на итоговую орбиту, то полное значение Δv будет равно 4117,53 м/с, что на 16,19 м/с (0,4 %) меньше, чем при гомановской траектории.

Уменьшение значения Δv можно усилить при увеличении промежуточного апогея, увеличив при этом время перелёта. Например, при апогее 75,8r0=507688 км (в 1,3 раза превышает среднее расстояние от Земли до Луны) уменьшение Δv относительно гомановской траектории составит 1 %, но перелёт займёт 17 суток. В случае крайне большого расстояния в апоцентре, 1757r0=11 770 000 км (в 30 раз превышает среднее расстояние от Земли до Луны) экономия составит 2 % по сравнению с гомановской орбитой, но перелёт займёт 4,5 года (без учёта гравитационных возмущений от других тел Солнечной системы). Для сравнения, перелёт по гомановской траектории займёт 15 часов 34 минуты.

  • Δv направлено в сторону движения
  • (отрицательное значение) Δv направлено против движения

На биэллиптической орбите большая часть Δv передаётся в первый момент, что вносит большой вклад в орбитальную энергию тела.

Еще по этой теме:
(523622) 2007 TG422
19:07, 08 декабрь
(523622) 2007 TG422
2007 TG422 — объект рассеянного диска, открытый 3 октября 2007 года в обсерватории Апачи-Пойнт. Перигелийное расстояние составляет 35,6 а.е., вследствие чего объект попадает в область гравитационного
Глизе 667 C c
22:32, 06 декабрь
Глизе 667 C c
Глизе 667 °C c — экзопланета в обитаемой зоне, вторая экзопланета у звезды Gliese 667 C в тройной системе Gliese 667. Планета удалена от Земли на ~ 22,7 световых лет. Орбита Планета обращается
Луна-15
00:34, 06 декабрь
Луна-15
«Луна-15» — советская автоматическая межпланетная станция (АМС) для изучения Луны и космического пространства. Была предназначена для доставки на Землю образцов лунного грунта. Миссия закончилась
Лексель, Андрей Иванович
22:16, 05 декабрь
Лексель, Андрей Иванович
Андрей Иванович Лексель (швед. Anders Johan Lexell; 24 декабря 1740—11 декабря (30 ноября) 1784) — российский астроном, математик и физик шведского происхождения, проведший в России большую часть
Касание
00:23, 03 декабрь
Касание
Касание — свойство двух линий или линии и поверхности иметь в некоторой точке общую касательную прямую или свойство двух поверхностей иметь в некоторой точке общую касательную плоскость. Точка в
Весовой метод
14:45, 13 март
Весовой метод
Этот метод измерения адсорбции основан на взвешивании адсорбента вместе с адсорбированным веществом. Величины адсорбции, измеренные этим методом, в каждой точке относительного давления не зависят от
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent