Нормированная ассоциативная алгебра

Нормированная ассоциативная алгебра — ассоциативная алгебра над полем действительных или комплексных чисел, являющаяся нормированным пространством, где норма удовлетворяет условию субмультипликативности:

∀ x , y : ‖ x y ‖   ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {displaystyle forall x,y:|x,y| leq |x|,|y|} .

Более общо, нормированную ассоциативную алгебру можно определить над любым нормированным полем. В старых книгах нормированные ассоциативные алгебры могут называться нормированными кольцами.

Иногда приводится условие, ослабляющее условие субмультипликативности на константу:

∃ C > 0   ∀ x , y : ‖ x y ‖   ≤ C ‖ x ‖ ‖ y ‖ {displaystyle exists C>0 forall x,y:|x,y| leq C|x|,|y|} .

Ничего нового оно, по существу, не разрешает, так как если C = 0, то алгебра тривиальна, а если C > 0, то после умножения нормы на C новая (эквивалентная) норма будет субмультипликативна без константы.

Частные случаи

Любая банахова алгебра по определению — метрически полная нормированная ассоциативная алгебра.

Алгебра ограниченных линейных операторов в нормированном пространстве (не обязательно банаховом) — также является нормированной ассоциативной алгеброй.

Свойства

Нормированная ассоциативная алгебра является топологическим кольцом.

Метрическое пополнение нормированной ассоциативной алгебры является банаховой алгеброй.