Кольцо множеств

Кольцо множеств — непустая система множеств R {displaystyle R} , замкнутая относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов A {displaystyle A} и B {displaystyle B} из кольца элементы A ∩ B {displaystyle Acap B} и A △ B {displaystyle A riangle B} тоже будут лежать в кольце.

С точки зрения общей алгебры кольцо множеств — ассоциативное коммутативное кольцо с операцией симметрической разности в роли сложения и пересечения в роли умножения. В роли нейтрального элемента по сложению выступает, очевидно, пустое множество. Нейтрального элемента по умножению в кольце множеств может и не быть. Например, не имеет нейтрального элемента по умножению кольцо всех ограниченных подмножеств числовой прямой.

Некоторые свойства:

• пустое множество принадлежит любому кольцу (так как ∅ = A △ A {displaystyle varnothing =A riangle A} );
• объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как A ∪ B = ( A △ B ) △ ( A ∩ B ) {displaystyle Acup B=(A riangle B) riangle (Acap B)} ;
• разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как A ∖ B = A △ ( A ∩ B ) {displaystyle Aackslash B=A riangle (Acap B)} .