C*-алгебра

C*-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Частным случаем С*-алгебры является комплексная алгебра над полем A линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• А является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы.
• А замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.

Другой важный класс не-гильбертовых С*-алгебр составляют алгебры непрерывных функций C 0 ( X ) {displaystyle C_{0}(X)} на пространстве X {displaystyle X} .

C*-алгебры впервые были рассмотрены главным образом с целью использования их в квантовой механике для моделирования алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс C*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана.

Примерно в 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали теоретическую характеристику C*-алгебр.

C*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп, а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований является классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных C*-алгебр.

Формальное определение

C*-алгеброй называют банахову алгебру A над полем комплексных чисел, для всех элементов которой x ∈ A { extstyle xin A} определено отображение x ↦ x ∗ { extstyle xmapsto x^{*}} со следующими свойствами:

• Это отображение — инволюция для каждого x в A:

x ∗ ∗ = ( x ∗ ) ∗ = x {displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}

• Для всех x, y в A:

( x + y ) ∗ = x ∗ + y ∗ {displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}} ( x y ) ∗ = y ∗ x ∗ {displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}

• Для всякого комплексного числа λ {displaystyle lambda } в C {displaystyle mathbb {C} } и всякого x в A:

( λ x ) ∗ = λ ¯ x ∗ {displaystyle (lambda x)^{*}={overline {lambda }}x^{*}}

• Для всех x в A:

‖ x ∗ x ‖ = ‖ x ‖ ‖ x ∗ ‖ {displaystyle |x^{*}x|=|x||x^{*}|}

Примечание. Первые три тождества говорят, что A является *-алгеброй. Последнее тождество называется C*-тождеством и эквивалентно формуле

‖ x x ∗ ‖ = ‖ x ‖ 2 {displaystyle |xx^{*}|=|x|^{2}}

С*-тождество является очень сильным требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

‖ x ‖ 2 = ‖ x ∗ x ‖ = sup { | λ | : x ∗ x − λ 1    не обратимый } . {displaystyle |x|^{2}=|x^{*}x|=sup{|lambda |:x^{*}x-lambda ,1 { ext{ не обратимый}}}.}

Ограниченный оператор π {displaystyle pi } : A → {displaystyle o } B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом, если

• для всех x и y из A выполняется

π ( x y ) = π ( x ) π ( y ) {displaystyle pi (xy)=pi (x)pi (y)}

• для всех x из A выполняется

π ( x ∗ ) = π ( x ) ∗ {displaystyle pi (x^{*})=pi (x)^{*}}

В случае C*-алгебр, любой *-гомоморфизм π {displaystyle pi } между C*-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой ≤ 1 {displaystyle leq 1} . Кроме того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями C*-тождества.

Биективный *-гомоморфизм π {displaystyle pi } называется C*-изоморфизмом, и в этом случае А и B называются изоморфными.