Инвариант (математика)

Инвариант — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа.

Определение

Пусть A {displaystyle A} — множество и G {displaystyle G} — множество отображений из A в A. Отображение f из множества A в множество B называется инвариантом для G, если для любых a ∈ A {displaystyle ain A} и g ∈ G {displaystyle gin G} выполняется тождество f ( a ) = f ( g ( a ) ) {displaystyle f(a)=f(g(a))} .

Инварианты используются в различных областях математики, таких как геометрия, топология и алгебра. Открытие инвариантов является важным шагом в процессе классификации математических объектов.

Примеры

• Площадь треугольника является инвариантом по отношению к изометриям евклидова пространства.
• Мощность множества является инвариантом относительно биекций.
• Определитель, след, собственные вектора и собственные значения матрицы инвариантны относительно выбора базиса.
• В теории дифференциальных уравнений инвариантом называется функция, зависящая от искомой функции, значение которой постоянно (первый интеграл).
• Мера Лебега инвариантна относительно сдвигов.
• Сингулярные числа матрицы инвариантны относительно ортогональных преобразований.
• Теория инвариантов занимается поиском инвариантных многочленов (или просто «инвариантов») и изучением образованной ими алгебры для случая линейных представлений алгебраических групп, а также действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
• Топологический инвариант — см. Словарь терминов общей топологии.
• Задачи на инвариант представляют собой большой класс задач в олимпиадной математике.
• Число Хадвигера и хроматическое число являются инвариантами графа при перенумерации его вершин.
• Инвариант эллиптической кривой — число J ( E ) = 1728 4 a 3 4 a 3 + 27 b 2 ( mod p ) {displaystyle J(E)=1728{frac {4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}}{pmod {p}}} . См. ГОСТ 34.10-2018.