Среднее геометрическое

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

G ( x 1 , x 2 , … , x n ) = x 1 x 2 ⋯ x n n = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 / n {displaystyle G(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})={sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}cdots x_{n}}}=left(prod _{i=1}^{n}x_{i} ight)^{1/n}}

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным, поскольку среднее геометрическое g {displaystyle g} двух чисел a 1 {displaystyle a_{1}} и a 2 {displaystyle a_{2}} обладает следующим свойством: a 1 g = g a 2 {displaystyle {frac {a_{1}}{g}}={frac {g}{a_{2}}}} , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.

Свойства

• Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

min ⁡ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ⩽ G ( x 1 , x 2 , … , x n ) ⩽ max ⁡ ( x 1 , x 2 , … , x n ) . {displaystyle operatorname {min} (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})leqslant G(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})leqslant operatorname {max} (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}).}

• Среднее геометрическое двух чисел a = A 0 , b = G 0 {displaystyle a=A_{0},b=G_{0}} является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

A i = A i − 1 + G i − 1 2 , G i = A i − 1 G i − 1 . {displaystyle A_{i}={frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2}},quad G_{i}={sqrt {A_{i-1}G_{i-1}}}.}

• Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического.

Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}} с вещественными весами w 1 , … , w n {displaystyle w_{1},ldots ,w_{n}} определяется как

x ¯ = ( ∏ i = 1 n x i w i ) 1 / ∑ i = 1 n w i = exp ⁡ ( 1 ∑ i = 1 n w i ∑ i = 1 n w i ln ⁡ x i ) . {displaystyle {ar {x}}=left(prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}} ight)^{1/sum _{i=1}^{n}w_{i}}=quad exp left({frac {1}{sum _{i=1}^{n}w_{i}}};sum _{i=1}^{n}w_{i}ln x_{i} ight).}

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Обобщения

• Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных A g ( x 1 , … , x n ) = x 1 g + … + x n g n g {displaystyle A_{g}(x_{1},ldots ,x_{n})={sqrt[{g}]{frac {x_{1}^{g}+ldots +x_{n}^{g}}{n}}}} при g → 0 {displaystyle g o 0} .
• Среднее геометрическое является средним Колмогорова при ϕ ( x ) = ln ⁡ x {displaystyle phi (x)=ln x} .