Эпициклоида

Эпициклоида (от др.-греч. ὲπί — на, над, при и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения. По свидетельству Лейбница, Оле Рёмер ранее 1676 года сделал важное в практическом отношении открытие, что эпициклоидические зубцы в зубчатом колесе производят наименьшее трение.

Уравнения

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R {displaystyle R} , радиус катящейся по ней окружности равен r {displaystyle r} , то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно φ {displaystyle varphi } :

{ x = ( R + r ) cos ⁡ φ − r cos ⁡ ( α + R + r r φ ) y = ( R + r ) sin ⁡ φ − r sin ⁡ ( α + R + r r φ ) {displaystyle {egin{cases}x=(R+r)cos varphi -rcos(alpha +{frac {R+r}{r}}varphi )y=(R+r)sin varphi -rsin(alpha +{frac {R+r}{r}}varphi )end{cases}}}

где α {displaystyle alpha } — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x), φ {displaystyle varphi } — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси O X {displaystyle OX} .

Можно ввести величину k = R r {displaystyle extstyle k={frac {R}{r}}} , тогда уравнения предстанут в виде

{ x = r ( k + 1 ) ( cos ⁡ φ − cos ⁡ ( ( k + 1 ) φ ) k + 1 ) y = r ( k + 1 ) ( sin ⁡ φ − sin ⁡ ( ( k + 1 ) φ ) k + 1 ) {displaystyle {egin{cases}x=r(k+1)left(cos varphi -{frac {cos((k+1)varphi )}{k+1}} ight)y=r(k+1)left(sin varphi -{frac {sin((k+1)varphi )}{k+1}} ight)end{cases}}}

Величина k {displaystyle k} определяет форму эпициклоиды. При k = 1 {displaystyle k=1} эпициклоида образует кардиоиду, а при k = 2 {displaystyle k=2} — нефроиду. Если k {displaystyle k} — несократимая дробь вида m n {displaystyle {frac {m}{n}}} ( m , n ∈ N {displaystyle m,nin mathbb {N} } ), то m {displaystyle m} — это количество каспов данной эпициклоиды, а n {displaystyle n} — количество полных вращений катящейся окружности. Если k {displaystyle k} иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

• Эпициклоиды при разных значениях параметра k:

• k = 1 {displaystyle k=1} (кардиоида)

• k = 2 {displaystyle k=2} (нефроида)

• k = 3 {displaystyle k=3}

• k = 3 4 {displaystyle k={frac {3}{4}}}

• k = 1 3 {displaystyle k={frac {1}{3}}}

• k = 0.5 = 1 2 {displaystyle k=0.5={frac {1}{2}}}

• k = 2.1 = 21 10 {displaystyle k=2.1={frac {21}{10}}}

• k = 3.8 = 19 5 {displaystyle k=3.8={frac {19}{5}}}

• k = 5.5 = 11 2 {displaystyle k=5.5={frac {11}{2}}}

• k = 7.2 = 36 5 {displaystyle k=7.2={frac {36}{5}}}

Получение

Пусть P {displaystyle P} - искомая точка, α {displaystyle alpha } - угол отклонения точки P {displaystyle P} от точки касания двух окружностей, θ {displaystyle heta } - угол отклонения между центрами данных окружностей. Так как окружность катится без скольжения, то ℓ R = ℓ r {displaystyle ell _{R}=ell _{r}} По определению длины дуги окружности: ℓ R = θ R ∧ ℓ r = α r {displaystyle ell _{R}= heta Rland ell _{r}=alpha r} Из данных двух утверждений выплывает, что θ R = α r {displaystyle heta R=alpha r} Получаем соотношения для α {displaystyle alpha } : α = R r θ {displaystyle alpha ={frac {R}{r}} heta } Пусть центр неподвижной окружности A {displaystyle A} , центр второй окружности B {displaystyle B} . Очевидно, что A B → + B P → = A P → {displaystyle {overrightarrow {AB}}+{overrightarrow {BP}}={overrightarrow {AP}}} Перепишем в координатах: A P → = ( ( R + r ) cos ⁡ θ ; ( R + r ) sin ⁡ θ ) → + ( r cos ⁡ ( π + θ + α ) ; r sin ⁡ ( π + θ + α ) ) → = ( ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( θ + α ) ; ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( θ + α ) ) → {displaystyle {overrightarrow {AP}}={overrightarrow {(left(R+r ight)cos heta ;left(R+r ight)sin heta )}}+{overrightarrow {(rcos left(pi + heta +alpha ight);rsin left(pi + heta +alpha ight))}}={overrightarrow {(left(R+r ight)cos heta -rcos left( heta +alpha ight);left(R+r ight)sin heta -rsin left( heta +alpha ight))}}}

Следовательно позиция точки p {displaystyle p} :

x = ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( θ + α ) = ( R + r ) cos ⁡ θ − r cos ⁡ ( R + r r θ ) {displaystyle x=left(R+r ight)cos heta -rcos left( heta +alpha ight)=left(R+r ight)cos heta -rcos left({frac {R+r}{r}} heta ight)} y = ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( θ + α ) = ( R + r ) sin ⁡ θ − r sin ⁡ ( R + r r θ ) {displaystyle y=left(R+r ight)sin heta -rsin left( heta +alpha ight)=left(R+r ight)sin heta -rsin left({frac {R+r}{r}} heta ight)}