Показать меню

Конфигурация Мёбиуса — Кантора

Конфигурацией Мёбиуса — Кантора — конфигурация, состоящая из восьми точек и восьми прямых, такая, что на каждой прямой лежат по три точки и через каждую точку проходят по три прямые. Невозможно изобразить точки и прямые с этой моделью инцидентности на евклидовой плоскости, однако можно изобразить на комплексной проективной плоскости.

Координаты

Мёбиус задал вопрос, существует ли пара многоугольников с p сторонами в каждом, обладающих тем свойством, что каждая вершина одного многоугольника лежит на прямой, проходящей через сторону другого, и наоборот. Если такая пара существует, вершины и стороны этих многоугольников должны образовывать проективную конфигурацию. Для p = 4 эта задача не имеет решения на евклидовой плоскости, но Кантор нашёл пару многоугольников такого типа в обобщённом варианте задачи, в котором вершины и рёбра принадлежат комплексной проективной плоскости. Таким образом, в решении Кантора координатами вершин многоугольника являются комплексные числа. Решение Кантора для p = 4, пара взаимно вписанных четырёхугольника на комплексной проективной плоскости, называется конфигурацией Мёбиуса — Кантора.

Коксетер предложил следующие простые однородные координаты для восьми точек конфигурации Мёбиуса — Кантора:

(1,0,0), (0,0,1), (ω, −1, 1), (−1, 0, 1), (−1,ω2,1), (1,ω,0), (0,1,0), (0,−1,1),

где ω обозначает комплексный кубический корень из 1.

Абстрактная модель инциденций

В более общем виде конфигурацию Мёбиуса — Кантора можно описать как систему восьми точек и восьми троек точек, в которой каждая точка входит ровно в три тройки. При дополнительных условиях (естественных для точек и прямых), а именно, что никакая пара точек не принадлежит более чем двум тройкам и что никакие две тройки не имеют в пересечении более двух точек, любые две системы этого типа эквиваленты с точностью до перестановки точек. Таким образом, конфигурация Мёбиуса — Кантора является единственной проективной конфигурацией типа (8383).

Граф Мёбиуса-Кантора получил своё имя от конфигурации Мёбиуса — Кантора, поскольку он является графом Леви этой конфигурации. Граф имеет одну вершину для каждой точки конфигурации и по вершине для каждой тройки, а рёбра соединяют две вершины, если одна вершина соответствует точке, а другая — тройке, содержащей эту точку.

Точки и прямые конфигурации Мёбиуса — Кантора можно описать как матроид, элементами которого являются точки конфигурации, а нетривиальные базы — это прямые конфигурации. В этом матроиде множество S точек является независимым в том и только в том случае, когда либо |S| ≤ 2, либо S состоит из трёх неколлинеарных точек. Данный матроид получил название матроида Маклейна, после того как Маклейн доказал, что такой матроид не может быть ориентирован. Это один из немногих известных минорно-минимальных неориентируемых матроидов.

Родственные конфигурации

Решение задачи Мёбиуса о взаимно вписанных многоугольниках для значений p больше четырёх также представляет интерес. В частности, одно из возможных решений для p = 5 — это конфигурация Дезарга из 10 точек и 10 прямых, допускающая реализацию в евклидовом пространстве. Конфигурация Мёбиуса — это трёхмерный аналог конфигурации Мёбиуса — Кантора, состоящий из двух взаимно вписанных тетраэдров.

Конфигурацию Мёбиуса — Кантора можно расширить путём добавления четырёх прямых через четыре пары точек, которые до этого не были соединены прямыми, и добавления девятой точки на пересечении этих четырёх прямых. В результате получим конфигурацию Хессе, которая, как и конфигурация Мёбиуса — Кантора, может быть реализована в комплексных координатах, но не в вещественных. Удаление любой точки из конфигурации Хессе даёт копию конфигурации Мёбиуса — Кантора.

Еще по этой теме:
Задача Келети о квадратах
20:21, 14 декабрь
Задача Келети о квадратах
Задача Келети — вопрос комбинаторной геометрии про верхнюю оценку на отношение периметра к площади объединения равных квадратов. Сформулирован Тамасом Келети в 1998 году. В 2014 году был найден
Комплексная проективная плоскость
10:00, 13 декабрь
Комплексная проективная плоскость
Комплексная проективная плоскость — двумерное комплексное проективное пространство; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4. Обычно обозначается
Многогранник
13:08, 09 декабрь
Многогранник
Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью. Определение Многогранник, точнее
Сигнальное созвездие
15:55, 05 декабрь
Сигнальное созвездие
Сигнальное созвездие (англ. constellation diagram) — представление всевозможных значений комплексной амплитуды манипулированных радиосигналов на комплексной плоскости. Описание Всевозможные
Граф Леви
09:00, 02 декабрь
Граф Леви
Граф Леви (также граф инцидентности) — двудольный граф, соответствующий структуре инцидентности. Из набора точек и линий в геометрии инцидентности или проективной конфигурации образуется граф с одной
Окружность Аполлония
01:13, 02 декабрь
Окружность Аполлония
Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице. Биполярные координаты — ортогональная
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail: