Показать меню

Делимая группа

Делимая группа — это группа G {displaystyle G} , такая что для любых n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } и g ∈ G {displaystyle gin G} уравнение

x n = g {displaystyle x^{n}=g}

разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как n x = g {displaystyle nx=g} .

Группа A {displaystyle A} называется p {displaystyle p} -делимой ( p {displaystyle p} — простое число), если для любого a ∈ A {displaystyle ain A} разрешимо в A {displaystyle A} уравнение p x = a {displaystyle px=a} .

Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).

Примеры

  • Группа ( Q , + ) {displaystyle (mathbb {Q} ,+)} всех рациональных чисел;
  • p {displaystyle p} -примарная квазициклическая группа ( Z p ∞ , + ) {displaystyle (mathbb {Z} _{p^{infty }},+)} , то есть группа, порожденная счетным набором элементов a 0 , a 1 , … , a n , … {displaystyle a_{0},,a_{1},,ldots ,,a_{n},,ldots } , удовлетворяющих условию
p a 0 = 0 , p a 1 = a 0 , … , p a n = a n − 1 , … {displaystyle pa_{0}=0,,pa_{1}=a_{0},,ldots ,,pa_{n}=a_{n-1},,ldots }

Свойства делимых групп

  • Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
  • Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она p {displaystyle p} -делима при каждом простом p {displaystyle p} .
  • Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
    • Следовательно, делимые абелевы группы являются инъективными объектами в категории абелевых групп ( Z {displaystyle mathbb {Z} } -модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любой областью главных идеалов.
  • Любая абелева группа A {displaystyle A} разлагается в прямую сумму A = D ⊕ R {displaystyle A=Doplus R} , где D {displaystyle D} — делимая группа (она называется делимой частью группы A {displaystyle A} ), а R {displaystyle R} — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.

Строение делимых групп

Если A {displaystyle A} — произвольная делимая абелева группа, то

A ≅ ⨁ r 0 ( A ) Q ⊕ ⨁ p ∈ P ⨁ r p ( A ) Z p ∞ {displaystyle Acong igoplus limits _{r_{0}(A)}mathbb {Q} oplus igoplus limits _{pin P}igoplus limits _{r_{p}(A)}mathbb {Z} _{p^{infty }}} .

Связанные определения

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.

Еще по этой теме:
Группа Гейзенберга
12:26, 14 декабрь
Группа Гейзенберга
Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида ( 1
Граф Кэли
19:23, 10 декабрь
Граф Кэли
Граф Кэли — граф, который строится по группе с выделенной системой образующих. Назван в честь Артура Кэли. Определение Пусть дана дискретная группа G
Вязкостное решение
04:18, 06 декабрь
Вязкостное решение
Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения. Определения Вырожденное эллиптическое
Максимальный тор
12:52, 03 декабрь
Максимальный тор
Максимальный тор связной вещественной группы Ли G {displaystyle G} — связная компактная коммутативная подгруппа Ли T
Касание
00:23, 03 декабрь
Касание
Касание — свойство двух линий или линии и поверхности иметь в некоторой точке общую касательную прямую или свойство двух поверхностей иметь в некоторой точке общую касательную плоскость. Точка в
Обратный элемент
23:38, 01 декабрь
Обратный элемент
Обратный элемент — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения). Определения Пусть ( M
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail: