Делимая группа
Делимая группа — это группа G {displaystyle G} , такая что для любых n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } и g ∈ G {displaystyle gin G} уравнение
x n = g {displaystyle x^{n}=g}разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как n x = g {displaystyle nx=g} .
Группа A {displaystyle A} называется p {displaystyle p} -делимой ( p {displaystyle p} — простое число), если для любого a ∈ A {displaystyle ain A} разрешимо в A {displaystyle A} уравнение p x = a {displaystyle px=a} .
Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).
Примеры
- Группа ( Q , + ) {displaystyle (mathbb {Q} ,+)} всех рациональных чисел;
- p {displaystyle p} -примарная квазициклическая группа ( Z p ∞ , + ) {displaystyle (mathbb {Z} _{p^{infty }},+)} , то есть группа, порожденная счетным набором элементов a 0 , a 1 , … , a n , … {displaystyle a_{0},,a_{1},,ldots ,,a_{n},,ldots } , удовлетворяющих условию
Свойства делимых групп
- Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
- Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она p {displaystyle p} -делима при каждом простом p {displaystyle p} .
- Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
- Следовательно, делимые абелевы группы являются инъективными объектами в категории абелевых групп ( Z {displaystyle mathbb {Z} } -модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любой областью главных идеалов.
- Любая абелева группа A {displaystyle A} разлагается в прямую сумму A = D ⊕ R {displaystyle A=Doplus R} , где D {displaystyle D} — делимая группа (она называется делимой частью группы A {displaystyle A} ), а R {displaystyle R} — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.
Строение делимых групп
Если A {displaystyle A} — произвольная делимая абелева группа, то
A ≅ ⨁ r 0 ( A ) Q ⊕ ⨁ p ∈ P ⨁ r p ( A ) Z p ∞ {displaystyle Acong igoplus limits _{r_{0}(A)}mathbb {Q} oplus igoplus limits _{pin P}igoplus limits _{r_{p}(A)}mathbb {Z} _{p^{infty }}} .Связанные определения
Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.