Солитон

Солитон — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.

Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а продолжают движение, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.

История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave».

Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы.

Солитоны бывают различной природы:

• на поверхности жидкости (первые солитоны, обнаруженные в природе), иногда считают таковыми волны цунами и бор
• ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме
• гравитационные солитоны в слоистой жидкости
• солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера
• можно рассматривать в качестве солитонов нервные импульсы
• солитоны в нелинейно-оптических материалах
• солитоны в воздушной среде

Математическая модель

Уравнение Кортевега — де Фриза

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

u t − 6 u u x + u x x x = 0 {displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

u ( x , t ) = − 2 ϰ 2 c h 2 ϰ ( x − 4 ϰ 2 t − φ ) {displaystyle u(x,t)=-{frac {2varkappa ^{2}}{mathrm {ch} ^{2},varkappa (x-4varkappa ^{2}t-varphi )}}}

где 2 ϰ 2 {displaystyle 2varkappa ^{2}} — амплитуда солитона, φ {displaystyle varphi } — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна ϰ − 1 {displaystyle varkappa ^{-1}} . Такой солитон движется со скоростью v = 4 ϰ 2 {displaystyle v=4varkappa ^{2}} . Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее.

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при t → ± ∞ {displaystyle t o pm infty } решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

u ( x , t ) = − 2 d 2 d x 2 ln ⁡ det A ( x , t ) {displaystyle u(x,t)=-2{frac {d^{2}}{dx^{2}}}ln det A(x,t)}

где матрица A ( x , t ) {displaystyle A(x,t)} даётся выражением

A n m = δ n m + β n ϰ n + ϰ m e 8 ϰ n 3 t − ( ϰ n + ϰ m ) x {displaystyle A_{nm}=delta _{nm}+{frac {eta _{n}}{varkappa _{n}+varkappa _{m}}}mathrm {e} ^{8varkappa _{n}^{3}t-(varkappa _{n}+varkappa _{m})x}}

Здесь β n , n = 1 , … , N {displaystyle eta _{n},n=1,dots ,N} и ϰ n > 0 , n = 1 , … , N {displaystyle varkappa _{n}>0,n=1,dots ,N} — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

− ∂ x 2 ψ ( x ) + u ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {displaystyle -partial _{x}^{2}psi (x)+u(x)psi (x)=Epsi (x)}

с потенциалом u ( x ) {displaystyle u(x)} , убывающим на бесконечности быстрее чем | x | − 1 − ε {displaystyle |x|^{-1-varepsilon }} , коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени t {displaystyle t} .

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при t → − ∞ {displaystyle t o -infty } решение имеет асимптотический вид N {displaystyle N} солитонов, тогда при t → + ∞ {displaystyle t o +infty } оно также имеет вид N {displaystyle N} солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы k {displaystyle k} -го солитона равен

Δ φ k = ∑ n ≠ k n = 1 N Δ φ n k {displaystyle Delta varphi _{k}=sum _{stackrel {n=1}{n eq k}}^{N}Delta varphi _{nk}}

Пусть n {displaystyle n} -й солитон движется быстрее, чем m {displaystyle m} -й, тогда

Δ φ n + = Δ φ k n = 1 ϰ n ln ⁡ | ϰ n + ϰ m ϰ n − ϰ m | {displaystyle Delta varphi _{n}^{+}=Delta varphi _{kn}={frac {1}{varkappa _{n}}}ln left|{frac {varkappa _{n}+varkappa _{m}}{varkappa _{n}-varkappa _{m}}} ight|} Δ φ k − = Δ φ n k = − 1 ϰ m ln ⁡ | ϰ n + ϰ m ϰ n − ϰ m | {displaystyle Delta varphi _{k}^{-}=Delta varphi _{nk}=-{frac {1}{varkappa _{m}}}ln left|{frac {varkappa _{n}+varkappa _{m}}{varkappa _{n}-varkappa _{m}}} ight|}

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину Δ φ n + {displaystyle Delta varphi _{n}^{+}} , а фаза более медленного — уменьшается на Δ φ k − {displaystyle Delta varphi _{k}^{-}} , причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

i u t + u x x + ν | u | 2 u = 0 {displaystyle iu_{t}+u_{xx}+ u vert uvert ^{2}u=0}

при значении параметра ν > 0 {displaystyle u >0} допустимы уединённые волны в виде:

u ( x , t ) = ( 2 α ν ) c h − 1 ( α ( x − U t ) ) e i ( r x − s t ) , {displaystyle uleft(x,t ight)=left({sqrt {frac {2alpha }{ u }}} ight)mathrm {ch} ^{-1}left({sqrt {alpha }}(x-Ut) ight)e^{i(rx-st)},}

где r , s , α , U {displaystyle r,s,alpha ,U} — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

U = 2 r {displaystyle U=2r} s = r 2 − α {displaystyle s=r^{2}-alpha }

Дромион — решение уравнения Дэви-Стюартсона.