Квантор существования

Квантор существования (экзистенциальный квантификатор) в предикатной логике — предикат свойства или отношения для по крайней мере одного элемента из области определения. Обозначается символом логического оператора ∃ (произносится как «существует» или «для некоторого»). Квантор существования следует отличать от квантора всеобщности, так как последнее задаёт утверждение о том, что указанное свойство или отношение выполняется для всех элементов области.

Символ ∃ {displaystyle exists } (от англ. exist — ‘существовать’) для квантора существования введён итальянским математиком Джузеппе Пеано в 1897 году, а символ ∀ {displaystyle forall } , обозначающий квантор всеобщности, — в 1935 году Герхардом Генценом. Концепция была предложена ранее, в 1879 году, в книге Готлоба Фреге Begriffsschrift («Исчисление понятий»).

Существует модификация этого квантора — квантор существования и единственности, являющийся предикатом свойства или отношения для одного и только одного элемента области определения. Обозначается ∃! и читается «существует и единственный».

Варианты чтения

Выражение ( ∃ x ∈ X ) P ( x ) {displaystyle (exists xin X)P(x)} читается так:

• существует [значение] x {displaystyle x} из [множества] X {displaystyle X} такое, что [утверждение] P ( x ) {displaystyle P(x)} [истинно];
• утверждение P ( x ) {displaystyle P(x)} истинно хотя бы для некоторых [значений] x {displaystyle x} , принадлежащих X {displaystyle X} ;
• существует элемент x {displaystyle x} множества X {displaystyle X} , обладающий свойством P ( x ) {displaystyle P(x)} ;
• по крайней мере (хотя бы) один элемент x {displaystyle x} множества X {displaystyle X} обладает свойством P ( x ) {displaystyle P(x)} ;
• некоторые элементы множества X {displaystyle X} обладает свойством P ( x ) {displaystyle P(x)} ;
• найдётся такое значение x {displaystyle x} из X {displaystyle X} , что (для которого) P ( x ) {displaystyle P(x)} истинно.

Кодировка